Тема 5. Элементы теории вероятностей

I. Основные понятия теории вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей

1) Из 900 больных, поступивших в хирургическое отделение больницы , 115 человека имели травмы. Какова относительная частота поступления больных с травмами?

2) В институт было подано 350 заявлений о приеме от девушек и 150 - от юношей. Какова относительная частота подачи заявлений от девушек?

3) Грани правильного тетраэдра пронумерованы: 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что при бросании тетраэдр встанет на грань с цифрой 3 ? Предполагается, что тетраэдр сделан из однородного материала.

4) На странице книги 2500 букв. Буква “а” встречается 190 раз. Какова вероятность того, что случайно выбранная буква не будет буквой “а”?

5) Студент подготовил к экзамену 25 билетов из 40. Какова вероятность того, что он “вытащит” выученный билет?

6) В урне находится 10 шаров: 3 белых, 5 черных и 2 красных. Из урны извлекается черный шар и в урну не возвращается. Какова вероятность извлечь после этого черный шар?

7) В коробке находятся 5 синих, 10 черных и 15 красных карандашей. Какова вероятность того, что первый наугад вынутый карандаш окажется синим или красным?

8) Вероятноcть того, что день будет дождливым равна 0.6. Найти вероятность того, что день будет, ясным.

9) В денежно-вещевой лотерее на каждые 100000 билетов разыгрывается 200 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность вещевого или денежного выигрыша для владельца одной лотереи?

10) Три врача независимо друг от друга осмотрели одного и того же больного. Вероятность того, что первый врач установит верный диагноз, равна 0.8. Для второго и третьего врачей эти вероятности соответственно равны 0.7 и 0.9. Определить вероятность того, что все врачи поставят правильный диагноз.

11) Вероятность того, что стрелок при выстреле попадет в мишень, равна 0.9. Стрелок делает два выстрела. Определить вероятность того, что стрелок оба раза не попадет в мишень.

12) На приеме у врача находится 15 больных, 5 из которых больны ветрянкой. Определить вероятность того, что 2 наугад выбранных пациента больны ветрянкой.

13) Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Определить вероятность того, что студент не знает предложенные экзаменатором 2 вопроса.

14) Аптека может обеспечить лекарствами 7 больных из 15. Какова вероятность того, что три наугад выбранных больных будут обеспечены лекарствами ?

15) Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно шести. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет пасмурно.

II. Формула полной вероятности

1) На приеме у врача 10 пациентов, четверо из которых больны гриппом. Вероятность повышения температуры в группе с гриппом составляет 0.8, а в другой группе 0,4. Определить вероятность тогоЭ что у наугад выбранного повышена температура.

2) На участке у врача 120 человек, у которых с вероятностью 0,3 встречается инфекционно-аллергический полиартрит. На другом участке – 160 человек, и это заболевание встречается с вероятностью 0,2. Определить вероятность того, что наугад выбранный пациент болен инфекционно-аллергическим полиартритом.

3) На участке у врача две группы больных. В первой группе 16 пациентов, у которых с вероятностью 0,3 встречается инфекционно-аллергический полиартрит. На другом участке – 12 человек, и это заболевание встречается с вероятностью 0,8. Определить вероятность того, что наугад выбранный пациент болен инфекционно-аллергическим полиартритом.

4) В поликлинике принимают два врача-стоматолога. Вероятность попасть на прием к первому врачу – 0,7, ко второму – 0,3. Вероятность повторного обращения к стоматологу для первого врача равна 0,02, для второго – 0,15. Определить вероятность того, что наугад выбранный пациент повторно обратится к врачу.

5) Вероятность того, что при работе ЭВМ произойдет сбой в АЛУ – 0.2, в ОЗУ – 0,8. Вероятность обнаружения сбоя в АЛУ составляет 0,9, в ОЗУ – 0,95. Определить вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

6) Студент может заболеть гриппом только в результате или переохлаждения или контакта з другим больным. Вероятность переохлаждения равна 0,1. Вероятность контакта с другим больным составляет 0,9. Вероятность заболеть гриппом при переохлаждении – 0,1; а при контакте - 0,2. Определить вероятность того, что наугад выбранный студент заболеет гриппом.

7) На приеме у врача 30 пациентов, 15 из которых страдают гипертонической болезнью. Вероятность головной боли при гипертонии – 0,9, а в других случаях - 0,6. Определить вероятность того, что у наугад выбранного пациента головная боль.

8) На приеме у врача 15 пациентов, четверо из которых больны гриппом. Вероятность повышения температуры в группе с гриппом – 0,8, в другой – 0,65. Определить вероятность того, что у наугад выбранного пациента повышена температура.

9) В поликлинике принимают два врача-стоматолога. Вероятность попасть к первому врачу равна 0,34; ко второму – 0,66. Вероятность повторного обращения к стоматологу для первого врача равно 0,01; для второго – 0,1. Определить вероятность повторного обращения к стоматологу, если врач был выбран наугад.

10). Две работницы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая работница сделает ошибку, равна 0,005; для второй работницы эта вероятность равна 0,01. Найти вероятность того, что при проверке перфокарт будет выявлена ошибка.

11) В отделении осуществляется лечение больных с тремя видами заболеваний: ревматизмом, бронхиальной астмой и сердечной недостаточностью. Из 120 больных отделения страдают ревматизмом 52 пациента, бронхиальной астмой 18 человек, остальные страдают сердечной недостаточностью. Вероятность излечения в первой группе больных равна 0,4; в другой – 0,3; в третьей – 0,1. Определить вероятность того, что наугад выбранный больной излечится полностью.

12) Из 125 больных отделения 100 пациентов страдает неврозами, остальные – другими видами заболевания. Вероятность повторного нахождения в отделении с неврозами – 0,4, с другими видами заболевания – 0,5. Определить вероятность повторного нахождения больного в отделении.

13) Предприятие выпускает изделия определенного вида на трех поточных линиях. Первая изготавливает 10% всех изделий, вторая – 30%, третья – 60%. Вероятность изготовления бракованного изделия этими линиями равна 0,02; 0,02; 0,01 соответственно. Определить вероятность того, что наугад выбранное изделие будет бракованным.

14) В специализированную больницу поступает, в среднем, 50% пациентов с заболеванием К, 35% с заболеванием L, 15% с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,4; для заболеваний L и М эти вероятности соответственно равны 0,5 и 0,6. Найти вероятность того, что наугад выбранный пациент был выписан здоровым.

15) В отделении осуществляется лечение двух нозологических единиц: пневмонии и бронхита. Из 20 больных отделения больны пневмонией 15 человек. Вероятность повторного поступления в отделение при пневмонии – 0,3; при бронхите – 0,25. Определить вероятность повторного поступления больного в отделение.