1.2 Оценка вида и параметров выборки случайной величины Частота выборочного значения

Для определения вида распределения выборки можно использовать график частоты выборочного значения, который при достаточном объеме выборки по характеру совпадает графиком плотности распределения вероятности случайной величины. Для этого необходимо воспользоваться функцией табличного процессора MS Excel «Гистограмма». Вызов данной функции возможно сделать перейдя во вкладку панели быстрого доступа «Данные», в разделе «Анализ» выбрать «Анализ данных», затем выбрать пункт «Гистограмма». В графе «Входной интервал» требуется указать диапазон округлённых значений оцениваемых случайных величин. Для получения значений округлённых значений случайных величин необходимо воспользоваться функцией =ОКРУГЛ(число; число разрядов). В графе «Интервал карманов» указывается диапазон ячеек содержащий перечень различных округлённых значений оцениваемых случайных величин. «Выходной интервал» - интервал ячеек предназначенных для вывода результата функции «Гистограмма». Так же следует поставить галочку в пункте «Вывод графика».

Рисунок 10. Частота выборочного значения и гистограмма распределения значений помехи

Построенная гистограмма (рисунок 10) позволяет сделать предположение о нормальном виде распределения величины значения уровня помехи.

Проверка гипотезы о виде распределения

Применение критерия Пирсона для оценки гипотезы распределения случайной величины с помощью табличного процессора Excel.

Сравнив χ²_кр и χ² можно сделать вывод о значимости гипотезы: если χ²_кр > χ², то гипотеза принимается с уровнем значимости a, в противном случае гипотеза отвергается.

В первую очередь, производится округление значений выборки до целого числа (рисунок 11А) и вычисление n_i (частоты выборочных значений x_i) (рисунок 11Б, ячейки F11:F15). Это возможно сделать воспользовавшись функцией =СЧЁТЕСЛИ(диапазон проверяемых значений; критерий по которому производится проверка). Значений совпадают с результатами, полученными в предыдущем пункте (рисунок 10).

Рисунок 11.А Округление выборочных значений

Рисунок 11.Б Частота выборочных значений

Затем производится вычисление теоретической вероятности p_i выборочного значения x_i.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении используется функция =НОРМРАСП(x_i; среднее арифметическое; средне квадратическое отклонение; 1) (рисунок 12).

Рисунок 12. Теоретическая вероятность выборочного значения

Расчёт теоретической частоты n’_i выборочного значения x_i представлен на рисунке 13.

Затем вычисляется теоретическая частота выборочного значения x_i по формуле:

где n – количество наблюдений, объём выборки.

Рисунок 13. Теоретическая частота выборочного значения

Наблюдаемое значение случайной величины χ² определяется по формуле:

.

Для упрощения написания формулы в табличном процессоре порядок расчета наблюдаемого значения случайной величины можно разделить на два действия: деление (диапазон ячеек I11:I15) и сумма результатов деления (ячейка I16) (рисунок 14).

Рисунок 14. Вычисление наблюдаемого значения случайной величины χ²

Критическое значение случайной величины χ2 (рисунок 15) определяется с помощью функции:

χ2_кр =ХИ2ОБР(a,r),

где a – уровень значимости, требуемая вероятность (принимается равной значению 0,05),

r – количество степеней свободы.

Расчет количества степеней свободы производится по формуле:

,

где k – количество категорий (количество различных округлённых значений),

р – количество оцениваемых параметров закона распределения.

Из рисунка 14 видно (ячейки E11:E15), что имеется 5 различных округлённых значений оцениваемой случайной величины (количество категорий k). Так как рассматривается гипотеза о нормальном распределении, то оцениваются два параметра (среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение), то есть количество оцениваемых параметров p равно 2. Тогда количество степеней свободы равно 2.

Рисунок 15. Критическое значение случайной величины

Так как неравенство χ² < χ²_кр выполняется, тогда гипотеза о том, что выборка случайной величины подчиняется закону нормального распределения при уровне значимости a = 0,05, является верной.