1. Основные сведения из теории

1. Основные свойства степени:

Определение:

а^х = а · а · а · ··· · а , где а^х –степень,

а – основание степени

х раз n – показатель степени

1. а⁰ = 1 , а ≠ 0

2. а^{-n = ,} а ≠ 0

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

1.2. Показательная функция, её свойства и график

Определение: Функцию у=а^х, где а>0, а≠1, называют показательной функцией.

Свойство 1: Область определения показательной функции у=а^х – множество R всех действительных чисел.

Свойство 2: Множество значений показательной функции у=а^х – множество положительных чисел.

С войство 3: Показательная функция у=а^х является возрастающей, если а>1, и убывающей, если 0<а<1.

у=а^х

а>1

у=а^х

0<а<1

1.3 Решение показательных уравнений

Определение: Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Теорема: Если а^х=а^в, где а>0, а≠1, то х = в

1.4 Решение показательных неравенств

Определение: Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Теорема: Если а^х>а^в, где, а≠1, то

1. Если а>0, то х > в, то есть знак сохраняется

2. Если а<0, то х < в, то есть знак меняется

2. Примеры и упражнения

Пример 1: Упростить выражение:

1)

2)

Пример 2: Решить показательное уравнение:

4^х-8=64

Решение:

4^х-8=4³

х-8=3

х=3+8

х=11

Ответ :х=11

Пример 3: Решить показательное уравнение:

3^х+2+3^х=90

Решение:

3^х·3²+3^х=90 t=9

Пусть 3^х=t,t>0 3^х=9

t·3²+t=90 3^х=3²

9t+t=90 х=2

10t=90 Ответ: х=2

t=

t=9

Пример 4: Решить показательное уравнение:

2^х-1+2^х=6

Решение:

+2^х=6

Пусть 2^х=t,t>0 t=

+t=6 t=4

+t=6 2^х=4

2^х=2²

1t+2t=12 х=2

3t=12 Ответ: х=2

Пример 5 : Решить показательное уравнение:

3^х+1-4·3^х-2=69

Решение:

3^х·3¹-4· =69

Пусть 3^х=t,t>0 t=

t·3¹-4· =69 t=27

3t- =69 3^х=27

3^х=3³

27t-4t=621 х=3

23t=621 Ответ: х=3

Пример 6: Решить показательное уравнение:

9^х +8·3^х –9 = 0

Решение:

(3²)^х+8·3^х –9 = 0

(3^х)²+8·3^х –9 = 0

Пусть 3^х =t, t > 0

t² +8· t –9 =0

а=1, b=8, с=-9

t_{1,2= =}

t₁= t₂=

t₁= 1 t₂= -9, не уд., так как t>0

3^х = 1

3^х =3⁰

х=0

Ответ: х=0

Пример 7: Решить показательное неравенство:

2^3х-5>16

Решение:

2^3х-5>2⁴, т.к. 2>1, то знак сохраняем

3х-5>4

3х>4+5

3х>9

х>

х>3, Ответ: х>3

Пример 8: Решить показательное неравенство:

3^х+2+3^х-1<28

Решение:

3^х·3²+ <28

Пусть 3^х=t,t>0 t<

t·3²+ <28 t<3

9t+ <28 3^х<3

3^х<3¹, т.к.3>1, то знак сохраняем

27t+t<84 х<1

28t<84 Ответ: х<1