1.9 Магнитные волны

( и ).

,

.

имеет в декартовой системе координат вид:

, (51)

. (52)

На поверхности идеально проводящих стенок волновода должно выполнятся граничное условие: .

, (53)

. (54)

Подставляя (53), (54) в (52), приходим к соотношениям

(55)

Как следует из (55), у волн Н, как и у волн Е,

,

т.е. волны Н и Е с равными индексами являются вырожденными.

Подставляя в (52) (55) и значения , получим:

. (56)

где Н0Z - =АС - амплитуда продольной составляющей магнитного поля.

Соотношения (41), (42) в декартовой системе координат имеет вид:

(57)

Как следует из равенств (56), (57), у волн Н, в отличие от волн Е, обращение в нуль одного из индексов (m или n) не влечет за собой обращения в нуль всех составляющих поля. Поэтому, если полагать аb, то низшим типом волн Н является волна Н₁₀.

,

Поскольку , то волна Н₁₀ является низшим типом волны не только среди волн Н, но и среди всех возможных типов волн в прямоугольном волноводе. Это означает, что при а передача энергии по прямоугольному волноводу невозможна. ,

, .

1.9.1 Волна н10

Волна Н₁₀ имеет наибольшую критическую длину волны. Поэтому на заданной частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых возможна передача энергии по волноводу, наименьшие для этой волны.

Полагая в (56), (57) m=1 и n=0 , получим:

, (58)

, (59)

, (60)

. (61)

Остановимся на картине распространения поля волны Н в плоскостях параллельных широкой стенке волновода.

В ЭМП волны Н₁₀, магнитные силовые линии охватывают токи смещения, текущие между широкими стенками параллельно оси у.

Максимальная плотность тока смещения находится в центре замкнутых магнитных силовых линий, где напряженность электрического поля равна нулю

,

,

,

,

_.

Рисунок 16 – Структура поля волны Н₁₀

Рисунок 17 – Диаграмма типов волн прямоугольного волновода

1.9.2 Круглый волновод

Рисунок 18 – Круглый волновод

В круглом волноводе возможно существование волн E и H и невозможно распространение волн T.

1.10 Электрические волны

При анализе воспользуемся цилиндрической системой координат, совместив ось с продольной осью волновода.

Уравнение в полярной системе координат примет вид: (62)

Решение (62) _. (63)

Подставив (63) в (62), умножив обе части на r², выпполнив дифференцирование и ив полученное уравнение на , получим

(64)

Левая часть (64) зависит только от r, правая - только от . Переменные r и  - независимые. Следовательно (64) - равенство двух независимых функций. Это возможно, если каждая из функций равна постоянной. Обозначая постоянную m², приходим к двум дифференциальным уравнениям:

, (65)

(66)

(67)

₍₆₈₎

Решение уравнения (65) имеет вид

,

где A и B - произвольные постоянные. Условие (68) выполняется, если m=0,1,2...

Уравнение (66) является уравнением Бесселя. Его решение можно представить в виде

_. (69)

где и - функции Бесселя m-го порядка первого и второго рода, а - произвольные постоянные.

_, (70)

_.

В отношении (70) функция Бесселя второго рода при стремится к . Так как напряженность поля в любой точке волновода должна быть ограничена, то необходимо потребовать . Тогда

_. (71)

где - амплитуда продольной составляющей электрического поля.

учитывая, что :

(72)

где штрих означает дифференцирование по всему аргументу функции Бесселя.

Согласно граничному условию

. (73)

Подставляя (71) в (73), получаем

(74)

Имеется бесконечно большое число значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называются корнями функции Бесселя. Обозначая n-й корень функции Бесселя m-го порядка через , из (74) находим

, откуда (75)

Нумерация Е волн, отличающихся друг от друга по структуре поля в плоскости поперечного сечения волновода, осуществляется в соответствии с порядковым номером корня уравнения (74). При этом индекс m соответствует числу целых стоячих волн поля, укладывающихся по окружности волновода, а индекс n характеризует распределение стоячих волн вдоль радиуса волновода.

Несколько первых корней функции Бесселя в порядке их возрастания и соответствующие им критические длины волн представлены в таблице 1.

Таблица 1

Тип волны	E01	E11	E21	E	E	E	E	E
	2.405	3.832	5.135	5.520	6.379	7.016	7.586	8.407
	2.613	1.640	1.223	1.138	0.985	0.895	0.828	0.746

Низшим типом среди волн E в круглом волноводе является волна E₀₁ (рисунок 19).

,

,

, , (76)

_.

Рисунок 19 – Структура поля волны Е₀₁