2.7. Бір пиондық алмасу потенциалын анықтау

Екі фермионның өзара фотон алмасуы кезінде спин-спиндік және спин-орбиталдық әсерлесуін анықтайтын Брейт формуласының қалай өрнектелетінімен таныстық. Кванттық байланыс күйдің құраушылары бозон алмасу арқылы бір-бірімен әрекеттеседі. Сонда фотон пропогаторынан кулон потенциалына қалай өтетінімен танысайық. Алмасу кезіндегі фотонның 4 өлшемді импульсін деп белгілесек, координат кеңістігінде пропагатор келесі түрде жазылады:

(2.120)

Мұнда және . Сонда 4 өлшемді интегралды:

(2.121)

жазуға болады. Мұндағы бір интегралдың шығарылуын бөлек көрсетсек, онда:

тең болады. Осы нәтижені пайдаланып, (2.121):

(2.123)

деп жазамыз. Біз фотонның пропогаторының 4 өлшемді кеңістіктегі түрін анықтадық. Енді оған сәйкес келетін 3 өлшемді кеңістіктегі әсерлесу потенциалы:

(2.124)

деп анықталады. Бұл интегралды есептеу үшін деп айнымалы ауыстырамыз. Онда, потенциалымыз:

(2.125)

түрінде болады. Бұл екі зарядтың әсерлесуін сипаттайдын Кулон потенциалы. Екі нуклонның әсерлесуі -мезон алмасқанда жүзеге асады. Енді -мезонмен алмасқанда әсерлесу потенциалы қалай анықталатынына тоқталайық. 4 өлшемді координат кеңістігіндегі -мезонның пропагаторы:

(2.126)

түрінде жазылады. Мұндағы – -мезонның массасы. Жоғарыдағыдай есептеу жүргізу нәтижесінде -мезонның 4 өлшемді кеңістіктегі пропагаторын:

(2.127)

деп жазамыз. Бұл кезде сәйкес келетін потенциал әдеттегідей өрнектеледі:

Мұнда және 3 өлшемді кеңістіктің векторлары. Бұны есептеу үшін келесі Фурье түрлендіруін қарастырайық:

(2.129)

Бұл екі өрнекті салыстырсақ келесі мәнді аламыз:

. (2.130)

Ол белгілі Юкава потенциалы.

Нуклон аралық күштердің құрылымы күшті әсерге түсетін бөлшектердің қасиеттерімен тығыз байланысты. Демек, күшті әсердің сипаттамалары мен күшті әсерге түсетін бөлшектердің массаларының арасындағы қатынасты табуға болады. Әсіресе, ұзақ қашықтықтағы нуклонаралық күштердің және пион-нуклондық әсерлесудің өзара байланысын табу маңызды болып табылады. Жоғарыда айтылып кеткендей, алыс қашықтықтағы әсерлесуді (перифериялық әсерлесу) мезондармен алмасу сияқты қарастыруға болады, дәл сол сияқты электрмагниттік әсерлесу фотондармен алмасу түрінде қарастырылып жүр. Мұндай алмасудағы -мезонның ерекше қасиеті – оның массасының шамасы аз болғандығында (күшті әсерге қатысатын басқа бөлшектердің массасымен салыстырғанда). Демек, әсерлесудің сипаты массасы -ге тең бөлшекпен алмасуға байланысты. Олай болса, әсерлесудің радиусы – комптондық толқын ұзындығының мәнімен шамалас болады. Мұндай алмасуға тәуелді аралық күйлердің энергиясы шамамен -қа тең, онда мұндай аралық күйлердің өмір сүру уақыты шамамен болады. Мұндай уақыт аралығында шығарылған бөлшек -тан артық қашықтыққа кете алмайды. Олай болса, әсерлесулердің шамасы -дан ұзақ қашықтықтарда да бір-бірімен сәйкес келуі керек. Егер бір мезетте n бөлшекпен алмасуды сипаттасақ, онда бұған сәйкес аралық күйлердің энергиялары -ға тең болады. Ал осы әсерлесуге сәйкес радиустың мәні -ге тең болады. Демек, алыс қашықтықтардағы әсерлесу бір ғана -мезонмен алмасуға сәйкес келуі керек.

Бұдан шығатын қорытынды: бір пионды алмасуға негізделген потенциал тек қана -мезонның симметриялық қасиеттерімен және массасымен анықталады. -мезон алмасу кезіндегі потенциалдың спин−спиндік және спин−орбиталдық әрекеттесуін сипаттайтын бөлігін анықтағанда нуклонда шашырау амплитудасын борн жуықтауында қарастыратын боламыз. Нуклонның және электронның күй функциясы Дирак теңдеуінен анықталады. Сондықтан еркін күйді сипаттайтын функциялар бірдей болады. -мезонның және фотонның күй функциясы Клейн −Горданның теңдеуінен анықталады. Сондықтан олардың пропагаторлары калбрлеуді еске алмасақ, тек массасымен ғана айырмашылықта болады. Жоғарыдағы есептеулердей ықшамдау жүргізгенен кейін бір пионды алмасу потенциалы:

(2.131)

өрнекпен сипатталады. Мұндағы . – -мезонның нуклондарда шашырауының нәтижесін сараптауда алынған. – тензорлық әсерлесу операторы. Оның мәні:

, (2.132)

мұндағы – изоспин, – радиус вектор, – спиральдық оператор, онымен бағытындағы толық спиннің құраушысын мәні анықталады. Спинге тәуелді болатын күштердің рөлін екі нуклондық жүйе үшін спиральдық оператор қолдану ыңғайлы:

, . (2.133)

Бұл оператор бағытындағы толық спиннің құраушысын анықтайды. спиральдық оператордың меншікті мәндері: тең.

Протон мен нейтронның спиндері екенін ескеріп, теңдікті:

(2.134)

жазуға болады . Мұндағы дейтронның спині. Олай болса, дейтронның спиніне байланысты өрнек екі мәнге ие болады:

. (2.135)

Дейтронның спині болған кезде ғана нуклондар байланысқан күйде болады. Демек, біз спині болған кезде, потенциал байланыс күйді сипаттамайды, сондықтан бұны қарастырмаймыз.

Мұнда әсерлесу потенциалы ретінде жоғарыда анықталған бір пионды алмасу потенциалы қолданылды, әсерлесу потенциалындағы g₀:

(2.136)

деп белгілейміз және . Сондай-ақ . Мұдағы және сәйкесінше протон мен нейтронның массасы . – -мезонның массасы. және деп ала отырып, -дің мәнін анықтаймыз. Ол үшін ең алдымен келесі өрнектің мәнін табу керек:

(2.137)

Олай болса:

Осы мәндерге сәйкес -дің келесі мәндері шығады:

.

Теріс таңбалы мән дейтрондағы әсерлесу потенциалының сипаты нуклондар арасындағы тебуге сәйкес келетіндігін көрсетеді. Демек бұл кезде байланысқан күй жоқ. Біз онда тек бір ғана болған кездегі мәнді аламыз. Жоғарыдағы белгілеуді ескеретін болсақ, онда ізделініп отырған -ді келесі шамаға тең екендігін көруге болады:

.

Бақылау сұрақтары:

1. Бір пион алмасу потенциалын қалай анықтайды?

2. Нуклонның, пионның күй функциясы қандай теңдеумен сипатталады?

3. Нуклон −нуклон потенциалының изотоп спинге тәуелділігі қандай?

4. Тензорлық әсерлесудің сан мәнін анықтаңыз.

5. Пион−нуклон әсерлесу тұрақтылығының дейтрон сипніне тәуелділігін анықтаңыз.