3. . Кулон және өсу потенциалдарының эс оө әдісінде анықтау

Шредингер теңдеуінен орбиталды және радиалды қоздыруларды ескеріп, Кулон және өсу потенциалдарының энергетикалық спектрін анықтайық:

_(2.75)

    

 мұндағы α_s, σ – әсерлесу тұрақтылары. Потенциалға тоқталатын болсақ, ол:

1) атомдық физикада кулондық әсерлесу сыртқы сфералық симметриялы электр өрісінде болса, онда осы потенциалмен сипатталады;

2) адрондық физикада қарастыратын болсақ, онда Корнелл потенциалы, яғни конфайнмент потенциалы мен бір глюондық алмасу потенциалдарының қосындысы болады;

3) ядролық физикада мұндай потенциал кулондық тебілу және кулондық табалдырық энергиялары үшін пайдаланылады.

Енді ОӨ әдісін осы теңдеуді шешуге қолданайық. Ол үшін (2.75) теңдеуінен радиал ШТ анықтап, содан соң келесі түрлендіруді жасаймыз:

, . (2.76)

Мұндағы ρ- толқын функцияның асимптотикалық күйіне тәуелді вариациалық параметр. Бұл параметрді энергияның минимум мәнінен анықтаймыз. Ал ЭС анықтау үшін алдыңғы бөлімдердегідей өлшемді көмекші кеңістікте негізгі күй үшін модификацияланған ШТ:

(2.77)

түрінде жазылады. Айнымалыларды ауыстыру нәтижесінде -өлшемді кеңістікте Шредингердің модификацияланған теңдеуін алдық. Берілген әдіс бізге қажетті барлық сипаттамаларды анықтауға мүмкіндік береді, нақтырақ - өлшемді кеңістікте негізгі күй үшін Шредингердің модификацияланған теңдеуін шешу арқылы спектрді және толқындық функцияны анықтаймыз. - өлшемді кеңістікте негізгі күйдің толқындық функциясы тек айнымалылардан ғана тәуелді. Сондықтан операторды:

, (2.78)

негізгі күйдегі толқындық функцияға әсер ететін көмекші кеңістікте лапласианмен теңестіреміз. Модификацияланған Шредингер теңдеуі (2.77) нөлге тең болғандықтан келесі теңдеудегі

, (2.79)

болуы керек. Толық гамильтониан:

(2.80)

деп жазылады. Бұл гамильтонианының меншікті мәнін табу үшін ОӨ әдісін қолданамыз. Ол үшін каноникалық айнымалылардың қалыпты түрін жазу керек, сондықтан шаманы қалыпты күйде қалай өрнектелетінін көрсетейік. Сондықтан −ні

(2.81)

түрінде жазайық. Мұндағы q²=q²₁+q²₂+ . . .+q²_d үшін:

(2.82)

қойылымды пайдаланамыз. Бұл өрнектегі Пуассон интегралының қасиетін ескерсек немесе

. (2.83)

Пуассон ингералын пайдаланып, (2.81) өрнекті:

(2.84)

түрінде жазылады. Мұндағы - шаманы туу және жою операторлары арқылы өрнектеп жазатын болсақ,

(2.85)

және осы өрнекте туу және жою операторларының коммутациялық қатынастарын және Хейвейсида формуласын пайдаланып:

өрнекті:

(2.86)

деп қалыпты түрде жазамыз. Сонда (2.81) өрнегінің, жоғарыда көрсетілгендерді ескеріп:

(2.87)

қалыпты түрі деп жазылады. Мұндағы , осындай белгілеу әсерлесу гамильтониандағы каноникалық координаттардың үштен жоғары дәрежесінің қалыпты түрімен өрнектелетінін көрсетеді.

Кванттық өріс теориясында қалыпты түрідегі әсерлесу гамильтонианның көрінісінен кейін өріс операторларының әсерлесу гамильтонианында екінші дәреженің болмау талабы, шындығында қайта нормалауға байланысты тұрақтыларына және толқындық функцияға эквивалентті болады. Соған қоса, мұндай процедура негізгі кванттық үлесті вакуум энергиясы және массаны қайта нормалау арқылы ескеруге мүмкіндік береді. Басқаша айтқанда, барлық квадраттық формалар еркін осциллятордың гамильтонианына толығымен қосылған. Берілген талап ОӨ әдісіне сәйкес тұжырымдауға мүмкіндік береді. Негізгі кванттық үлесті анықтайтын байланыспаған осциллятордың жиілігін табу. Сонымен ЭС және осциллятордың жиілігін анықтау үшін ОӨ әдісінде:

(2.88)

теңдеулер жүйесін қолданамыз. ОӨ әдісіне сүйене отырып, кеңістікте каноникалық айнымалыларды туу және жою операторлары бойынша реттей жаза отырып, кеңістікте гамильтониан:

(2.89)

мұндағы – еркін осциллятордың гамильтонианы (2.70) теңдеуінде анықталған, ал – нөлдік жуықтауындағы негізгі күйдің энергиясы:

(2.90)

тең болады. ОӨ әдісіне сәйкес, әсерлесу гамильтонианының қалыпты түрі:

(2.91)

Есептеулер жүргізе келе, өткен бөлімдерде көрсетілгендерді ескере отырып, тек қана орбиталдық қозудағы энергетикалық спектрді есептейміз:

. (2.92)

Мұндағы z:

, (2.93)

және x:

(2.94)

өрнектерімен анықталады.

Бақылау сұрақтары:

1. Кулон потенциалының орбиталды және радиалды қоздырулар үшін ЭС?

2. Өсу потенциалының орбиталды және радиалды қоздырулар үшін ЭС ?

3. Осцилляторда өрнектелу әдісінің шарттары?

4. Осциллятордың жиілігін қалай табамыз?

5. Корнелл потенциалы үшін Шредингердің модификацияланған теңдеуі қалай жазылады?