Теория вероятности

10.1. 10 гостей рассаживается случайным образом за круглым столом . Какова вероятность

того , что некая пара окажется рядом ?

10.2. В лоторее N билетов , из них М выигрышных . Вы купили К билетов . Какова вероят -

ность выиграть ?

10.3. В неполной перетасованной колоде 10 красных карт и 8 черных . Из колоды вынимают

сразу пять карт . Найти вероятность p того , что две из них будут красными , а три черными .

10.4. Из ящика , содержащего n пронумерованных изделий , наугад вынимают одно за другим

все находящиеся в нем изделия . Найти вероятность того , что номера вынутых изделий будут идти

по порядку : 1, 2, ..., n .

10.5. Тот же ящик , что и в предыдущей задаче , но каждое изделие после вынимания вклады -

вается обратно и перемешивается с другими , а его номер записывается . Найти вероятность того ,

что будет записана естественная последовательность номеров : 1, 2, ..., n .

10.6. Из колоды карт (36 штук ) случайным образом выбираются 6 карт .

а ) опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента . Сколько эле -

ментов оно содержит ?

б ) найдите вероятность того , что в выбранном наборе будет только один туз .

10.7. М телеграмм случайным образом распределяются по N каналам связи (N > М ) . Найти

вероятность события А того , что ни на один канал не придется больше одной телеграммы .

- 129 -10.8. Из кучи монет по 1, 5, 10, 50 копеек берется горсть монет . Найти вероятность того ,

что сумма денег четная .

10.9. Имеются m различных частиц , каждая из которых может находиться с одной и той же

вероятностью 1/N в каждой из N ячеек (N > m) . Найти вероятность того , что :

а ) в определенных N ячейках окажется по одной частице ;

б ) в каких - то N ячейках окажется по одной частице .

10.10. Имеется 10 одинаковых карточек , на которых написаны цифры от 0 до 9. Экспери -

мент состоит в случайном выборе ( без возвращения ) трех карточек из этих 10.

а ) опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента , сколько элемен -

тов оно содержит ?

б ) найдите вероятность того , что из выбранных цифр можно составить число , деля -

щееся на 3, на 5.

10.11. Два студента А и В поочередно бросают игральную кость . Выигрывает тот , у которого

раньше выпадает пятерка . Начинает А .

а ) опишите пространство элементарных исходов эксперимента по бросанию играль -

ной кости до первого выпад e ния пятерки ;

б ) найдите вероятность того , что игра закончится при k - том бросании , до k - того бро -

сания ;

в ) найдите вероятность того , что выиграет студент А .

10.12. N экзаменационных билетов содержат по два вопроса , которые не повторяются . Экза -

менующийся может ответить только на m вопросов . Какова вероятность того , что взятый экзаме -

нующимся билет состоит из подготовленных им вопросов ?

10.13. В ящике находятся однотипные изделия , изготовленные разными заводами ; из них 6

изделий изготовлены заводом 1, 10 изделий – заводом 2, 14 изделий – заводом 3. Из ящика выни -

мают одно за другим все находящиеся в нем изделия и отмечают места их изготовления . Найти

вероятность того , что при этом изделие завода 2 вынут из ящика раньше , чем изделие завода 1.

10.14. Обрабатываемые на станке детали сортируются по размерам на две группы . Каждая

очередная деталь независимо от предыдущих с равными вероятностями попадает в первую или

вторую группу . Пусть в начале смены для каждой группы деталей приготовлено по ящику емко -

сти b . Какова вероятность того , что в момент , когда очередную деталь будет некуда класть , в дру -

гом ящике будет m деталей ?

10.15. В группе 25 человек . Какова вероятность того , что хоть у кого - то совпадают дни

рождения ?

10.16. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячей -

кам , расположенным одна за другой по прямой линии . Каждый шарик с одинаковой вероятностью

1/4 попадает в каждую ячейку . Найти вероятность того , что шарики попадут в соседние ячейки .

10.17. Из множества чисел (1, 2, ..., n) по схеме случайного выбора без возвращения выби -

раются три числа , найти условную вероятность того , что третье число попадет в интервал , образо -

ванный первыми двумя , если известно , что первое число меньше второго .

10.18. Имеется 4 ящика и три цветных шарика . Эксперимент состоит в случайном распреде -

лении шариков по ящикам :

а ) опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента . Сколько эле -

ментов оно содержит ?

б ) найдите вероятность того , что один из ящиков содержит ровно два шара .

10.19. Игральную кость бросают до тех пор , пока впервые не выпадет меньше пяти очков .

Какова вероятность получить при последнем бросании не меньше двух очков ?

10.20. В ящике лежат красные и черные носки . Если из ящика наудачу вытягиваются два

носка , то вероятность того , что оба они красные , равна 1⁄2. Каково минимально возможное число

носков в ящике ?

10.21. Найти вероятность того , что корни уравнения х 2 – 2b х + с вещественны, если коэф-

фициенты b и с – любые числа, но по абсолютной величине не превышают некоторого числа В.

10.22. Отрезок (0,а) случайной точкой делится на две части, из которых случайно выбирает-

ся одна часть. Обозначим b длину выбранной части. Найти P{b ≤ c } , 0 ≤ c ≤ a , предполагая, что

координата случайной точки равномерно распределена на отрезке (0,а) и вероятности выбора лю-

бой из полученных частей отрезка одинаковы.

10.23. Стеклянный стержень длиной L = 1 м ломается случайным образом на 3 части. Найти

вероятность того, что из обломков можно составить треугольник.

- 130 -10.24. Игрок делает ставку в 1 доллар на один из номеров 1, 2, 3, 4, 5, 6. Крупье подбрасыва-

ет сразу n=3 костей, и если хоть на одной из них выпало это число очков, ставка возвращается иг-

року, кроме того, он получает выигрыш во столько долларов, на скольких костях выпал этот но-

мер. Каков средний выигрыш в этой игре при данном n? Оцените, при каком числе n игра будет

невыгодна для крупье?

10.25. В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого рас-

стояния на поверхность стола, разграфленную на однодюймовые квадраты. Если монета (3⁄4 дюйма в

диаметре) попадает полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он

теряет свою монету. Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол?

10.26. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом

у больного туберкулезом равна P. Вероятность принять здорового человека за больного равна q.

Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна x. Найти условную

вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

10.27. В неполной перетасованной колоде 10 красных карт и 8 черных. Из колоды вынимают

карты по одной и выкладывают на стол. Найти вероятность р того, что в какой-то момент число

вынутых красных карт станет равно числу вынутых черных.

10.28. А, В и C сходятся для трехсторонней дуэли. Известно, что для А вероятность по-

пасть в цель равна 0,3, для C – 0,5, а В стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любо-

го противника по выбору. Первым стреляет А, затем В, дальше C и т.д. в циклическом порядке

(раненый выбывает из дуэли), пока лишь один человек не останется невредимым. Какой долж-

на быть стратегия А?

10.29. В корзине 12 синих шаров и четыре белых. Из корзины достали один синий шар и

отложили. Затем из корзины наугад вынули еще один шар. Какова вероятность того, что этот

шар белый?

10.30. В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное

решение с вероятностью P, а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное реше-

ние выносится большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с

вероятностью р. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью?

10.31. В первой урне находятся a белыx и b черных шаров, а во второй – n белых и m черныx

шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а

оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей

урны, окажется белым.

10.32. На первом курсе в первой группе 25 студентов, из них 2 стипендиата предприятия; во

второй 16 студентов, из них 5 стипендиатов. Наудачу выбран 1 студент. Какова вероятность того,

что он – стипендиат предприятия? Какова вероятность того, что он из 1 группы, если оказалось,

что он – стипендиат предприятия?

10.33. Пользуясь определением Мх и Dх, вычислить Мх и Dх:

а) для случайной величины, распределенной

равномерно в интерале (а,b);

р

б) для случайной величины, распределенной по

закону Пуассона с параметром а;

в) для случайных величин, плотность распреде-

ления которых представлена на графике;

г) для случайной величины, распределенной по

х

закону Бернулли с параметрами р , n.

10.34. Два студента А и В поочередно бросают играль-

0

А

ную кость. Выигрывает тот, у которого раньше выпадает

пятерка. Начинает А.

а) найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной

величины, равной числу бросаний кости до окончания игры;

б) найдите вероятность того, что игра закончится при одиннадцатом бросании, если

известно, что выиграл студент А.

10.35. Случайная величина распределена нормально с дисперсией 25 и средним 2. Найти ве-

роятность того, что она примет значение в интервале (0,4).

- 131 -10.36. Найти вероятность того, что среднее арифметическое 5 независимых случайных ве-

личин, каждая из которых распределена нормально с параметрами Мх = 1 , Dх = 4 , лежит в ин-

тервале (0.5 ÷ 1.5).

10.37. Случайная величина х распределена равномерно в интервале (0 ÷ 1). Найти вероят-

ность того, что среднее арифметическое 100 значений этой величины лежит в интервале

(0.50 ÷ 0.01).

10.38. В цехе 40 станков. Каждый в среднем дает 1 сбой в час. Найти вероятность того, что

общее число сбоев за смену не превысит 300. (Сбои считать независимыми).

10.39. Найти вероятность того, что при 600 бросаниях 2 костей число выпаданий 12 очков

будет не более 17.

10.40. Автобусы No 7 и No 6 могут появиться на остановке равновероятно в любой момент от

8.00 до 8.10 независимо друг от друга. Каков наиболее вероятный интервал времени между появ-

лением автобусов на остановке?

10.41. В поселке n жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город,

выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вме-

стимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в

m дней (поезд ходит раз в сутки, в месяце 30 дней)?

10.42. 8 шахматистов участвуют в турнире, среди них двое близнецов. В первом туре все

участники разбиваются на пары по жребию. Какова вероятность того, что близнецам придется иг-

рать друг с другом?

10.43. Человек получает в день в среднем 6 электронных писем. Какова дисперсия числа по-

лучаемых писем? Какова вероятность того, что завтра он получит именно n писем?

10.44. Стеклянная трубка длиной L cм, запаянная с одного конца, падая, разбивается на

3 части. Считая любые места разлома равновероятными, оцените среднюю длину части с запаян-

ным концом.

10.45. Стеклянная трубка длиной L cм, падая, разбивается на 2 части. Считая любые места

разлома равновероятными, оцените среднюю длину более короткой части.

10.46. Рассматривается пуассоновское поле точек на плоскости с постоянной плотностью b.

Найти закон распределения расстояния R от любой точки поля до ближайшей к ней соседней точки.

10.47. В пространстве трех измерений случайным образом расположены точки. Число точек

в некотором объеме b пространства есть случайная величина, подчиненная закону Пуассона с ма-

тематическим ожиданием а = b×n, где n – среднее число точек, находящихся в единичном объеме.

Требуется найти закон распределения расстояния R от любой точки пространства до ближайшей к

ней случайной точки.

10.48. Из хорошо перетасованной колоды (52 карты) на стол последовательно выкладыва-

ются карты лицевой стороной наверх, после чего аналогичным образом выкладывается вторая ко-

лода, так что каждая карта первой колоды лежит под картой из второй колоды. Каково среднее

число совпадений нижней и верхней карт? Каково среднее число совпадений масти нижней и

верхней карт?

10.49. В страховом обществе застраховано n человек одного возраста и одной социальной

группы. Вероятность смерти для каждого лица равна P. Каждый застрахованный вносит 1 января

по 1 тысяче рублей, и в случае его смерти родственники получают от общества b тысяч рублей.

Найдите вероятность того, что:

а) общество потерпит убытки;

б) общество получит прибыль, не меньшую, чем c тысяч рублей.

10.50. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна P. Производится n незави-

симых выстрелов. Укажите промежуток, в котором с вероятностью 0.95 будет находиться число

попаданий.

10.51. Производится n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность насту-

пления события А равна P. Чему равна вероятность того, что частота наступления события А от-

клонится от его вероятности не более чем на q?

10.52. Известно, что вероятность выпуска бракованного сверла равна P. Сколько сверл нуж-

но класть в коробку, чтобы с вероятностью не меньшей 0.9 в ней было не менее n исправных?

10.53. Газета публикует номера шаров, выпавших в очередном тираже «Спортлото: 6 из 49»

в возрастающем порядке. Пусть Х – номер, начинающий «счастливую» шестерку, а У – наиболь-

ший из выигравших номеров. Найдите законы распределения Х и У, их средние и дисперсии.

- 132 -10.54. В лоторее 1000 билетов, из них 9 выигрышных. Цена билета – 1000 рублей. Выигрыш

– 100 000 рублей. Сколько билетов надо купить, чтобы Ваш средний доход был максимален?

10.55. Имеется 3 ящика и три одинаковых шарика. Эксперимент состоит в случайном рас-

пределении шариков по ящикам.

а) найдите вероятность того, что один из ящиков содержит ровно два шара;

б) пусть х – число занятых ящиков, у – число шариков в ящике 1. Найдите законы

распределения случайных величин х и у и вектора (х,у);

в) найдите Мх, Му, Dх, Dу;

г) найдите Cov(х,у). Являются ли х и у независимыми случайными величинами?

10.56. Бросают 2 кости. Постройте закон распределения и ковариационную матрицу вектора

(х,у), где х – число очков на первой кости, у – сумма очков на первой и второй кости.

10.57. Игроки А и В играют в «монету» следующим образом: монета бросается до тех пор,

пока не появится выбранная одним из них комбинация из двух результатов. Например, А ставит

на «два орла» (OO), а В – на «орел, решка» (OP). Тогда А выигрывает, если бросания имеют ре-

зультаты: POО или PPOO, или OO и т.п.; а B выигрывает, если бросания имеют результаты: PPOP

или OP, или POP, или PPPOP и т.д. Равновероятны ли шансы игроков на выигрыш? Зависит ли

вероятность выигрыша от выбранной комбинации?

10.58. Ниже приводится закон распределения случайного вектора х, у.

а) заполните пустую клеточку (таблица ниже);

б) постройте ковариационную матрицу х, у;

в) являются ли х, у независимыми?

г) найдите Mx, My, Dx, Dy, а также условную вероятность P(x=1⁄y<2);

д) найдите P{(y+x) < 2}.

Y

0 1 2

1⁄8

0 1⁄8

1⁄4 1⁄8

x

0

1

10.59. Бросают 2 кости. Постройте ковариационную матрицу вектора (х,у), где х – число оч-

ков на первой кости, у – на второй. Найдите условную вероятность события: сумма очков равна 7

при условии, что на первой кости 3 очка. Найдите закон распределения вектора (z 1 ,z 2 ), z 1 =x+y,

z 2 =x-y. Найдите Мz 1 , Mz 2 , Dz 1 , Dz 2 , Cov(z 1 ,z 2 ).

10.60. Эксперимент состоит в случайном выборе набора n карт из колоды (36 карт).

а) пусть Х – число тузов, а У – черных карт среди выбранных. Найдите законы рас-

пределения Х и У;

б) найдите закон распределения вектора (Х,У). Являются ли Х и У независимыми

случайными величинами?

10.61. Имеется 4 ящика и 3 шарика, эксперимент состоит в случайном распределении шари-

ков по ящикам. Пусть х – число занятых ящиков, у – число шариков в ящике 1.

а) найдите законы распределения случайных величин х и у и вектора (х,у);

б) найдите Mх, Mу, Dх, Dу;

в) найдите Cov(ху). Являются ли х и у независимыми случайными величинами ?

10.62. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из квадрата |х| ≤ 1; |у| ≤ 1. Пусть x и

y – координаты выбранной точки.

а) найдите функцию распределения и плотность каждой из случайных величин x и y;

б) найдите Mx, My, Dx, Dy;

в) найдите совместное распределение x и y;

г) являются ли x и y независимыми случайными величинами?

д) верно ли, что x + y и x – y – независимые случайные величины?

10.63. В урне находится 10 одинаковых шаров с номерами 1, 2, ..., 10. Эксперимент состоит

в случайном выборе без возвращения n шаров.

а) опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Сколько эле-

ментов оно содержит?

б) найдите вероятность того, что наибольший из номеров будет больше m.

в) пусть x – случайная величина, равная числу четных выбранных номеров, y – число но-

меров, делящихся на 3. Найдите законы распределения x и y, а также Mx, My, Dx, Dy;

- 133 -г) найдите совместное распределение x и y;

д) являются ли x и y независимыми случайными величинами?

10.64. Плотность вероятности координаты х частицы в бесконечно глубокой потенциальной

яме шириной а дается формулой: p(x)=(2/a)×sin 2 ( π ×x/a). Найдите среднее значение и дисперсию

координаты х.

10.65. Вероятность того, что изделие будет работать через время t после начала эксплуата-

ции описывается формулой P(t)=exp(-at). Найдите среднее время и дисперсию времени работы

изделия.

10.66. Бросают две кости. Событие А – сумма очков нечетная, событие В – хотя бы на одной

кости выпало 1. Найдите вероятности событий АВ и А+В.