3.4 Электрическое моделирование механических колебательных систем

В основе электрического моделирования колебаний механических систем лежит аналогия между различными по своей физической природе явлениями – механическими колебаниями и колебательными процессами в электрических цепях, состоящих и индуктивностей, трансформаторов, сопротивлений, конденсаторов, генераторов тока и напряжения [15]. При этом непосредственное исследование колебаний сложной механической системы, материальная реализация которой связана с определенными технико-экономическими трудностями, может быть заменено изучением колебательного процесса в электрической цепи, изготовление которой не требует особых затрат труда и средств. Приведем по этому поводу высказывание Н.Е. Жуковского: «…если одно из двух математически аналогичных явлений сложно и трудно наблюдается, а другое может быть осуществлено на простом приборе, то опытное изучение второго явления может расширить наше знакомство с первым, несмотря на то, что оба явления могут представлять неразрешимую математическую задачу».

Идею метода электромеханических аналогий рассмотрим на примере простых систем с одной степенью свободы. На рис.8 схематично изображена механическая колебательная система с одной степенью свободы.

Рис.8

Уравнение вынужденных колебаний системы имеет вид:

, (3.32)

где - масса объекта, кг;

- коэффициент сопротивления демпфера, ;

- жесткость упругого элемента, ;

- перемещение объекта относительно положения статического равновесия, м;

- внешняя вынуждающая сила, ;

- время, с.

Механической системе можно поставить в соответствие две дуальные (двойственные) электрические цепи: последовательный контур (рис. 9) и параллельный контур (рис. 10).

Рис.9

Рис.10

Используя законы Кирхгофа, можно получить уравнения, описывающие колебательные процессы в этих контурах.

Первая система электромеханических аналогий (контурная аналогия)

Для последовательного замкнутого контура можно записать

. (3.33)

Напряжения на элементах контура определяются по формулам:

(3.34)

В формулах (3.33) и (3.34) приняты следующие обозначения:

- индуктивность, ;

- электрическое сопротивление, ;

- электрическая емкость, ;

- количество электричества (заряд), ;

- ток, ;

- напряжение на генераторе напряжения, ;

- напряжения на индуктивности, емкости, сопротивлении, ;

- время электрической цепи, с.

Подставляя соотношения (3.34) в уравнение (3.33), получаем:

. (3.35)

Сравнивая уравнения (3.35) и (3.32), находим, что они аналогичны. Поэтому последовательный контур является электрической моделью-аналогом рассматриваемой механической системы.

Между параметрами механической системы и ее электрической моделью можно установить следующие соответствия:

.

Эти соответствия характеризуют первую систему электромеханических аналогий (контурную аналогию). Следует заметить, что здесь существует прямая аналогия, т.е. каждому элементу механической системы соответствует свой элемент-аналог электрической модели.

Установим подобие между механической системой и её электрической моделью. Введем масштабные коэффициенты, устанавливающие пропорциональность аналогичных параметров:

. (3.36)

Так как скорости протекания механического и электрического процессов различны, то необходимо принять масштабный коэффициент по времени:

. (3.37)

Выразим механические величины через электрические и масштабные коэффициенты (3.36) и (3.37):

. (3.38)

Подставляя соотношения (3.38) в уравнение (3.32), находим:

. (3.39):

Для тождественности уравнений (3.35) и (3.39), а значит для подобия механической системы и электрической модели, необходимо, чтобы выполнялись индикаторы подобия:

. (3.40)

На шесть масштабных коэффициентов (3.36) и (3.37) наложено три условия (3.40). Поэтому три масштабных коэффициента будут независимыми. Их можно выбрать, исходя из возможностей электрической модели, а остальные определить из индикаторов подобия.

Пусть заданы: . Тогда остальные масштабные коэффициенты можно найти по формулам:

.