3. Статично невизначувані системи при крученні

Статично невизначуваною називається кінематично незмінна система, у якої число невідомих зусиль, включаючи реакції опор і внутрішні силові фактори (крутні моменти), більше числа рівнянь статики, які можна скласти для даної задачі.

Порядок рішення статично невизначуваних задач розглянемо на прикладі.

Приклад

Розкрити статичну невизначеність стержня (рис. 3.13), побудувати епюру крутних моментів та визначити параметр круглих поперечних перерізів стержня з умови міцності.

Статична сторона задачі

Складемо єдине можливе рівняння рівноваги з двома невідомими , тому задача є один раз статично невизначеною:

(3.14)

Рисунок 3.13

Геометрична сторона задачі

Для розкриття статичної невизначуваності необхідно скласти одне рівняння спільності переміщень.

Умовно відкинемо праве затиснення, а його дію замінимо моментом , при цьому задача стає статично визначуваною. Моментвизначається з умови, що поворот правого торцевого перерізу щодо лівого під дією моментівдорівнює нулю:

(3.15)

Фізична сторона задачі

Скористаємося законом Гука при крученні для кутів закручування. Момент закручує в напрямку проти руху часової стрілки весь стержень; момент− в напрямку за рухом часової стрілки частину стержня між лівим затисненням та місцем розташування; момент− проти руху часової стрілки тільки першу ділянку стержня:

(3.16)

,

де ,− полярні моменти інерції круглого перерізу першої та другої половини стержня.

Спільне рішення рівнянь

Підставимо (3.16) в (3.15):

З обліком того, що ,, а, одержимо:

звідки: .

З рівняння рівноваги (3.14) знаходимо момент в лівому затисненні:

.

Побудова епюри крутних моментів

Обчислюємо значення внутрішніх крутних моментів по ділянках стержня, які показані на рис. 3.13:

Перевіряємо правильність рішення задачі, для чого обчислимо кут повороту правого торцевого перерізу щодо лівого затиснення , який повинен дорівнювати нулю:

Визначення розмірів поперечного перерізу

Обчислення параметру поперечного перерізу проводимо в найбільш напруженій ділянці стержня. Для цього здійснюємо порівняльний аналіз найбільших дотичних напружень на чотирьох ділянках згідно виразу (3.12):

1-а ділянка діаметром :

2-а ділянка діаметром :

3-я ділянка діаметром :;

4-а ділянка діаметром :

У вищенаведених виразах полярні моменти опору перерізів окремих ділянок стержня дорівнюють: ,.

Порівнюючи результати аналізу, робимо висновок, що найбільш навантаженою є друга ділянка стержня діаметром .

З умови міцності (3.12) ,

одержимо: .

4. Розрахунково-проектувальне завдання

При вивченні розділів „Зсув” та „Кручення” в курсі „Опір матеріалів” ставиться мета навчити студентів основам інженерного розрахунку елементів конструкцій машин і механізмів на міцність і жорсткість з урахуванням умов роботи, властивостей матеріалів та різноманітних типів поперечних перерізів.

Для кращої організації і більш ефективної самостійної роботи студентів, згідно з вимогами програми курсу , студентам пропонується до виконання задачі по темі „Розрахунки на міцність та жорсткість при крученні”. Виконуючи цю роботу, студент практично знайомиться з методами обчислення крутних моментів, побудови епюр моментів та напружень, визначення розмірів та форми поперечного перерізу для різноманітних схем, що забезпечують умови міцності та жорсткості.