3. Приклади розв`язання задач

1. Зразок виконання задачі 1

	Потужність, що передається шківами, дорівнює: при частоті обертання: . Довжини ділянок валу: Допустимі дотичні навантаження: . Допустимий відносний кут закручування: . Модуль зсуву – .
Рисунок 3.14

Порядок розв`язання задачі:

1. Накреслимо схему вала.

2. Визначимо значення зовнішних крутних момен­тів згідно відомої з теоретичної механіки залежності :

З умови статики:

3. Згідно з методом перерізів будуємо епюру крутних моментів .

4. Визначаємо діаметр валу круглого перерізу з умови міцності на найнебезпечнішій ділянці:

5. З метою зменшення максимального крутного моменту розташуємо шківи раціонально і побудуємо епюру .

6. Визначаємо розміри поперечного перерізу при раціональному розташуванні шківів:

1. з умови міцності:

1. з умови жорсткості:

Значення діаметра для суцільного валу обирається найбільше з двох значень з урахуванням стандарту на діаметри валів: , тому.

В даному прикладі умова міцності виявилась більш строгою, тому діаметр трубчастого валу для раціонального розташування шківів обчислюється при також з умови міцності:

Обираємо і обчислюємо максимальні дотичні напруження для трубчастого валу:

7. Будуємо епюру максимальних в перерізі дотичних напружень на ділянках валу круглого перерізу, для якого момент опору дорівнює:

, тоді

,

Знак дотичних напружень особливого значення не має, тому при побудові епюри можливо відкладання ординат по одну сторону осі вала.

8. Співвідношення ваги суцільного валу для заданої системи і ваги суцільного валу при раціональному розташуванні шківів дорівнюється чисельному співвідношенню площин поперечних перерізів:

.

Співвідношення ваг суцільного і трубчастого валів дає:

8. Будуємо епюру кутів закручування по ділянках валу:

,

де жорсткість при крученні суцільного валу:

,

а (i − номер ділянки) − це кут закручування правого краю ділянки відносно лівого. Обираємо початок координат в лівому перерізі валу. Відкладаємо значення в правому перерізі першої ділянки. Кут закручування правого перерізу другої ділянки відносно початку координат дорівнює сумі кутівта. Кут закручування правого перерізу третьої ділянки відносно початку координат дорівнює сумі кутів,та. І, нарешті, кут закручування правого перерізу четвертої ділянки відносно початку координат дорівнює сумі кутів,,та.

Повний кут закручування правого краю валу відносно лівого дорівнює:

.

Найбільший відносний кут закручування:

<<. Умова жорсткостівиконується з великим запасом.

8. Побудуємо епюри дотичних напружень в поперечних перерізах суцільного і трубча­стого валів:

Рисунок 3.15

2. Зразок виконання задачі 2

З умов міцності та жорсткості визначити розміри поперечних перерізів статично невизначуваного стержня з послідовним розташуванням ділянок прямокутного, кільцевого та круглого перерізів (рис. 3.16).

Дано:

.

1. Визначимо геометричні характеристики поперечних перерізів ділянок стержня:

• кільцевий переріз:

–внутрішній діаметр; – зовнішній діаметр; . Полярний момент інерції:

Полярний момент опору:

.

• круглий переріз:

Полярний момент інерції: . Полярний момент опору: .

• прямокутний переріз: ;.

Момент інерції при крученні: , залежить від співвідношення сторін прямокутника ; (див. табл. 3.1). .

Момент опору при крученні ( , див. табл. 3.1)

.

Рисунок 3.16

2. Розкриємо статичну невизначуваність задачі.

При даному типі навантаження в місцях закріплення вала виникають два реактивні моменти тав площинах, перпендикулярних до осі стержня. Ступінь статичної невизначуваностідорівнює одиниці, тому задача є один раз статично невизначувана.

Статичний аспект задачі:

З умови рівноваги вала:

. (3.17)

Геометричний аспект задачі:

Заміняємо початкову статично невизначувану задачу на статично визначувану, умовно відкидая ліву опору. На підставі принципу незалежності дії сил абсолютний кут закручування лівого краю стержня відносно нерухомого правого дорівнює алгебраїчній сумі кутів закручування від кожного зовнішнього моменту:

Оскільки обидва кінці валу жорстко закріплені, то кут повороту переріза А відносно В дорівнює нулю (рівняння сумісності кутів закручування):

(3.18)

Фізичний аспект задачі:

Використовуючи формулу закону Гука, запишемо вирази для кутів закручування:

(3.19)

Якщо підставити вирази (3.19) у вираз (3.18), то матимемо:

(3.20)

Із рівняння (3.20) знаходимо значення .

З рівняння рівноваги (3.17) знаходимо значення реактивного моменту :

3. Будуємо епюру крутних моментів (рис. 3.16).

4. Визначаємо значення параметру для заданих форм поперечних перерізів стержня з умови міцності:

для кільцевого перерізу з епюри крутного моменту (рис. 3.16) , тоді

м;

для круглого перерізу ()

м;

для прямокутного перерізу ()

м.

З трьох отриманих результатів слід вибирати більший: мм, який знайдено з умови міцності для круглого перерізу.

5. Будуємо епюру розподілу максимальних дотичних напружень по довжині стержня: для круглого перерізу

для кільцевого перерізу

для прямокутного перерізу

6. Побудуємо епюру кутів закручування.

Послідовно для частин стержня знаходимо значення кутів закручування.

Перевіримо виконання умови жорсткості для найнебезпечнішої ділянки FH круглого перерізу, де відносний кут закручування дорівнює:

.

Умова жорсткості виконана.

Встановимо початок координат у перерізі A та будуємо епюру кутів закручування для деформаційної перевірки:;

;

;

;

.

Абсолютний кут закручування перерізу А відносно перерізу В повинен дорівнювати нулю. Але отримана абсолютна похибка (0,001) є результатом накопичення округлення на кожному етапі рішення задачі. Тому визначимо відносну похибку обчислень та порівняємо з її допустимим значенням:

<< 5%,

що свідчить про точність отриманих результатів та правильність рішення статично невизначуваної задачі.