Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

СеверинВП ДУ высших порядков

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

1.3.Теорема Коши для дифференциальных уравнений высших порядков

Условия существования и единственности частного решения дифференциального уравнения (1.2) при начальных условиях (1.8) даётся теоремой Коши.

Т е о р е м а К о ш и . Если правая часть дифференциального уравнения n -го порядка вида (1.2) непрерывна как функция n 1 аргу-

ментов в некоторой окрестности	точки M	0	(x , y	0	, y	, ..., y(n 1) ) ,
		0	0	0	0		0
то найдется интервал [x0 h, x0 h]	независимой переменной						x , на

котором существует решение уравнения (1.2), удовлетворяющее начальным условиям (1.8). Если при этом функция f (x, y , y ,...,y(n 1) ) имеет ограниченные частные производные

f	,	f	, …,	f

y		y		y(n 1)

в области , то такое решение единственно.

Для случая n 2 область , используемая в теореме Коши, принадлежит трёхмерному пространству.

Задача, состоящая в решении уравнения (1.2) при начальных условиях (1.9) называется задачей Коши для дифференциального уравнения n -го порядка.

Контрольные вопросы

1.Запишите обыкновенное дифференциальное уравнение n -го порядка в общем виде и раскройте смысл всех входящих в уравнение величин.

2.Как определяется порядок дифференциального уравнения?

3.Дать определение решения дифференциального уравнения.

4.Записать дифференциальное уравнение n -го порядка, разре-

шенное относительно производной.

5.Дать определение первого интеграла дифференциального урав-

нения.

6.Привести простейший пример дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно производной, и представить решение такого уравнения.

7.Сколько произвольных постоянных содержит общее решение дифференциального уравнения второго порядка?

8.Раскрыть геометрический смысл начального условия дифференциального уравнения второго порядка.

9.Объяснить назначение начальных условий дифференциального уравнения.

10.В каком виде представляется общее решение дифференциального уравнения n -го порядка?

11.Сколько произвольных постоянных содержит общее решение дифференциального уравнения n -го порядка?

12.Каким свойством должны обладать произвольные постоянные

вобщем решении дифференциального уравнения n -го порядка?

13.Дать определение частного решения дифференциального уравнения n -го порядка.

14.Сколько начальных условий необходимо задавать для получения частного решения дифференциального уравнения n -го порядка?

15.Дать формальное определение общего решения дифференциального уравнения n -го порядка.

16.Как определяются условия существования и единственности решения дифференциального уравнения n -го порядка?

17.Сформулировать теорему Коши для дифференциального уравнения n -го порядка.

18.Записать задачу Коши для дифференциального уравнения n - го порядка.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Не существует общих методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков произвольного вида. В этом разделе излагаются основные виды дифференциальных уравнений, в которых допускается понижение порядка уравнения, что позволяет уравнение высшего порядка свести к уравнению первого порядка. При изучении раздела основное внимание следует уделять правильному определению вида уравнения, от которого зависит способ его решения.

Рассматриваются следующие случаи: дифференциальное уравнение разрешено относительно старшей производной неизвестной функции и не содержит ни самой функции, ни ее остальных производных; уравнение не содержит неизвестную функцию и ее младшие производные; уравнение не содержит независимую переменную; уравнение однородно относительно искомой функции и ее производных; уравнение приводится к точным производным. Для всех рассмотренных случаев даны примеры уравнений с их решениями. Приводятся примеры для аудиторного практического занятия и самостоятельной работы.

2.1.Уравнения, не содержащие искомую функцию и ее младшие производные

В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение n - го порядка

	F(x, y, y , y , ..., y(n) ) 0			(2.1)
содержит	независимую переменную	x , неизвестную		функцию
y y(x)	и её производные y y (x) ,	y y (x) , …,	y(n) y(n) (x) .

Существуют частные случаи дифференциальных уравнений, допуска-

ющие понижение порядка и тем самым сводящие сложную задачу интегрирования дифференциального уравнения высокого порядка к более простой задаче интегрирования уравнения низкого порядка.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, не содержащие искомую функцию и ее младшие производные. Пусть дифференциальное

уравнение n -го порядка не содержит y ,

y ,

y , …,

y(n 1)

и имеет

вид

y(n) f (x) ,

(2.2)

где f (x)

– известная непрерывная функция, интегрируемая в квадра-

турах. Учитывая, что y(n)

( y(n 1) ) , и интегрируя по

левую и пра-

вую части уравнения (2.2), имеем

y(n 1) f (x)dx C1 ,

где C1 – произвольная постоянная.

Повторяя процесс интегрирования, получим:

y(n 2)

f (x)dx dx C x C

y(n 3)

f (x)dx dx dx C

x C

... f (x)dx ...dx dx dx C

xn 1

xn 2

... C

x C

n 1

(n 1)!

(n 2)!

Таким образом, дифференциальное уравнение n -го порядка (2.2)

имеет общее решение, содержащее

n произвольных постоянных C1 ,

C2 , …, Cn . Этот факт относится ко всем уравнениям n -го порядка.

Пр и м е р 2 . 1 . Найти общее решение уравнения

y 6x .

Р е ш е н и е . Интегрируя это уравнение, имеем:


y 6x dx 3x2 C1 ,		y (3x2 C1) dx x3 C1x C2 .
Пусть теперь дифференциальное уравнение n -го порядка (2.1) не
содержит y , y , y , …,	y(k 1) , где k n , а имеет вид
F(x, y(k ) , y(k 1) , ..., y(n) ) 0 .				(2.3)
В этом случае положим		p y(k ) , где	p p(x)	– новая неизвест-
ная функция. Тогда имеем:
y(k 1) p ,	y(k 2) p , …,		y(n) p(n k ) .

Исходное уравнение примет вид

F(x, p, p , ..., p(n k ) ) 0 .

Таким образом, порядок исходного дифференциального уравнения (2.3) понижен на k . Пусть его решение имеет вид

p g(x, C1, C2, ...,Cn k ) .

Поскольку p y(k ) , то, интегрируя полученное для p решение, имеем y(k 1) g(x, C1, C2, ...,Cn k ) dx Cn k 1 .

Продолжая этот процесс, получим искомое решение y . П р и м е р 2 . 2 . Найти общее решение уравнения

y y x . x

Р е ш е н и е . Полагая y p , придем к уравнению

p xp x .

Это линейное уравнение первого порядка. Интегрируя соответ-

ствующее однородное уравнение, имеем:

0 ,

u Cx .

Поэтому полагаем

p C(x)x .

Получим:

C (x)x x ,

C (x) 1 ,

C(x) x C1 .

Таким образом,

p (x C1)x ,

то есть

y x2

C x .

Значит

yx 3 C1 x2 C2 . 3 2

2.2.Уравнение, не содержащее независимую переменную

Пусть дифференциальное уравнение n -го порядка (2.1) не содержит переменную x , то есть имеет вид

	F( y, y , y , ..., y(n) ) 0 .	(2.4)
Порядок этого уравнения можно понизить на единицу подстанов-
кой y p , где	p p( y) – новая неизвестная функция, а	y принима-

ется за независимую переменную. В этом случае все производные

d k y dxk ,

k 1, n , выражаются через производные функции

p по y :

d 2 y

p( y)

p( y) ,

dx2

dx dx

d 3 y d d 2 y dx3 dx dx2

dp dy

d 2 p

, … .

dy dx

Таким образом, любая производная y(k ) выражается через произ-

водные от p по y порядка не выше k 1, что и приводит к понижению порядка уравнения (2.4) на единицу.

П р и м е р 2 . 3 . Найти общее решение уравнения

y 2 2yy 0 .

Р е ш е н и е . Полагая y p , определим

y p dpdy .

Тогда получим уравнение первого порядка

p2 2 yp dpdy 0 ,

то есть при p 0

p 2 y

0 .

Отсюда

2 y

Поскольку p y , то


dy	C1				2
dy			,	y dy C dx ,	2	y y C x C		.


dx		y		1	3	1	2
dx		y			3

Окончательно получим общее решение

y3 (C1x C2 )2 .

Пусть теперь p 0 . Тогда y 0 , а это значит, что y C . Однако, это решение содержится в полученном общем решении исходного уравнения при C1 0 . Следовательно, при сокращении на p потери решения не происходит.

2.3.Уравнение, однородное для искомой функции и ее производных

Пусть дифференциальное уравнение (2.1) имеет вид

F(x, y, y , y ) 0 ,	(2.5)
где F – однородная функция относительно y ,	y , y . Для такой
функции при любом допустимом t справедливо тождество
F(x,ty,ty ,ty ) t m F(x, y, y , y ) .	(2.6)
В этом случае положим z y y , где z z(x) –	новая неизвестная

функция. Тогда y yz , и отсюда для второй производной получим:

y y z yz ,	y yz 2 yz ,
то есть
y y(z2 z ) .
Подставляя выражения для y и	y в исходное дифференциальное
уравнение (2.5), получим

F(x, y, yz, y(z2 z )) 0 .

В силу свойства однородности (2.6) имеем

ym F(x,1, z, z2 z ) 0 .

Сокращая это равенство на ym , получим

F(x,1, z, z2 z ) 0 ,

то есть придём к дифференциальному уравнению первого порядка

F1(x, z, z ) 0 .

Пусть z g(x,C1) – его общее решение. Это значит, что

y g(x, C1) . y

Интегрируя это равенство, имеем

ln y g(x,C1) dx ln C2 .

Поэтому общее решение исходного дифференциального уравне-

ния (2.6)

yC2e g(x,C1) dx .

Пр и м е р 2 . 4 . Найти общее решение уравнения

xyy xy 2 3yy .

Р е ш е н и е . Это уравнение однородно относительно y , y , y , поскольку для него выполняется свойство (2.6) при m 2 . Поэтому полагаем:

y yz , y y(z2 z ) .

Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, получим

xy 2 (z2 z ) xy 2 z2 3y2 z .

Сокращая это уравнение на y2 , имеем

x(z2 z ) xz 2 3z ,

то есть

z 3x z 2z 2 .

Это уравнение Бернулли. Разделим его на z2 и получим

z	3	1	2 .
z 2	x	z

Обозначая w 1 z , придем к линейному уравнению

w 3x w 2 .

Запишем для него однородное уравнение

dudx 3x u 0 .

Решая это уравнение, получим:

3dx

3ln

Решение линейного уравнения ищем в виде

w C(x) . x3

Подстановка в это уравнение дает:

C (x)

2 ,

C (x) 2x3 ,

C(x)

C .

Следовательно,

x4 2C

2x3

2C1

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025387 Кб1Світ літ самост роб.doc
#
01.07.2025104 Кб1Світова музична література.docx
#
02.02.2015194 Кб13СЕБЕСТОИМОСТЬ ПРОДУКЦИИ.doc
#
02.02.20152 Мб101Северин В.П. Методы ОП.pdf
#
02.02.20154 Мб96Северин Методы БМ.pdf
#
02.02.20152 Мб45СеверинВП ДУ высших порядков.pdf
#
02.02.20151 Мб28СеверинВП ДУ первого порядка.pdf
#
02.02.201522 Кб30Сексуальное долголетие.docx
#
02.02.20151 Мб16Сети и системы(курсач).docx
#
02.02.2015111 Кб48си_1.doc
#
01.07.2025771 Кб4Сивков С.М. Отечественная история конспекты лекций (часть 2).doc