СеверинВП ДУ высших порядков

ми, простыми или кратными. Вид общего решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (5.1) существенно зависит от типа корней его характеристического уравнения (5.2). Рассмотрим различные случаи корней характеристического уравнения.

5.2.Случай простых вещественных корней характеристического уравнения

Пусть корни характеристического уравнения (5.2) 1 , 2 , …, n вещественные и различные. В этом случае сразу получаем n различных решений линейного дифференциального уравнения (5.1):

Докажем, что эти решения образуют фундаментальную систему решений, то есть что они линейно независимы. Для этого предположим противное, то есть что эти функции линейно зависимы. Тогда имеет место тождество

Разделив это на e( 2 1) x , получим

51

c2 (2 1) c3 (3 1)e( 3 2 )x ... cn (n 1) e( n 2 )x 0 .

Дифференцируя это тождество, будем иметь

c3 (3 1)(3 2 )e( 3 2 )x ... cn (n 1)(n 2 ) e( n 2 )x 0 .

Продолжая этот процесс, в результате получим

cn (n 1)(n 2 ) ... (n n 1) e( n n 1)x 0 .

А так как e( n n 1)x 0 , то, сокращая тождество на это выражение, имеем

c1 c2 cn 0 . Это и доказывает линейную независимость функций

Поскольку эти функции образуют фундаментальную систему решений линейного дифференциального уравнения (5.1), то общее решение этого уравнения может быть записано в виде

yC1e 1x C2e 2 x ... Cne n x .

Пр и м е р 5 . 1 . Найти общее решение уравнения

y 2y 5y 6y 0 .

Р е ш е н и е . Составим характеристическое уравнение

3 22 5 6 0 .

Оно имеет корни

52

Следовательно, вид общего решения

yC1ex C2e 2x C3e3x .

Пр и м е р 5 . 2 . Найти общее решение уравнения

y y 2y 0 .

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение

3 2 2 0

имеет корни

Поэтому общее решение

yC1 C2ex C3e 2x .

5.3.Случай простых комплексных корней

Пусть корни характеристического уравнения (5.2) 1 , 2 , …, n различны, но среди них имеются комплексные корни. Поскольку все

Тогда кроме частных решений однородного линейного дифференциального уравнения (5.1)

53

имеем еще два комплекснозначных его решения:

На основе этих двух решений введем функции

С одной стороны, эти функции являются решениями однородного линейного дифференциального уравнения (5.1) как линейные комбинации его решений. С другой стороны, согласно формулам Эйлера, можно записать

систему решений. Эта система функций получена из исходной фундаментальной системы решений путем линейного преобразования

Определитель матрицы этого преобразования равен

54

Следовательно, данное линейное преобразование неособенное, а, значит, система функций z1 , z2 , z3 , z4 , …, zn действительно образует фундаментальную систему решений. Поэтому общее решение однородного линейного дифференциального уравнения (5.1) в этом случае можно записать в виде

y C1eax cos bx C2eax sinbx C3e 3x C4e 4 x ... Cne n x .

Если среди корней характеристического уравнения (5.2) 3 , 4 ,

…, n имеется несколько пар комплексно-сопряжённых корней, то каждой паре ak ibk отвечает в общем решении линейного уравнения (5.1) пара слагаемых

мнимых корней, то ей отвечает в общем решении однородного уравнения выражение вида

Ck cos bk x Ck 1 sinbk x .

55

П р и м е р 5 . 3 . Найти общее решение уравнения

y(4) 4y 0 .

Р е ш е н и е . Для этого уравнения характеристическое уравнение

4 4 0 .

ye x (C1 cos x C2 sin x) ex (C3 cos x C4 sin x) .

Пр и м е р 5 . 4 . Решить уравнение

y 9y 0 .

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение 2 9 0 имеет мнимые корни 1,2 3i . Поэтому

yC1 cos 3x C2 sin3x .

5.4.Случай кратных вещественных корней

Эти решения линейно независимы, но поскольку их число k n , они

56

не образуют фундаментальную систему решений. Дополнить эти решения до фундаментальной системы позволяет следующая лемма.

Л е м м а . Если число является корнем характеристического уравнения (5.2) кратности m , то функция xse x при любом значении s 0, 1, 2, ...,m 1 является решением линейного дифференциального уравнения (5.1).

Д о к а з а т е л ь с т в о . По формуле (3.8) линейного дифференциального оператора для произведения функций имеем

Здесь L[ y] – левая часть линейного дифференциального уравнения

(5.1). Обозначим через D( ) левую часть характеристического уравнения (5.2). Тогда в силу определения линейного дифференциального оператора (3.4) имеем:

Поэтому

D( ) 0 , D ( ) 0 , D ( ) 0 , …, D(s) ( ) 0 .

Следовательно, L[xse x ] 0 , что и доказывает лемму.

Итак, если – m -кратный корень характеристического уравнения (5.2), то ему отвечают m частных решений дифференциального уравнения (5.1):

57

Докажем утверждение, что эти n решений линейно независимы. Предположим противное, то есть что функции (5.4) линейно зависимы. Тогда имеет место тождество

a1e 1x a2 xe 1x a3 x2e 1x am1 xm1 1e 1x

b1e 2 x b2xe 2 x b3x2e 2 x bm2 xm2 1e 2 x

r1e k x r2 xe k x r3 x2e k x rmk xmk 1e k x 0 ,

этих многочленов не равен тождественно нулю.

Разделим тождество (5.5) почленно на e 1x . Тогда получим новое тождество

58

Будем дифференцировать это тождество нужное число раз. Так как для любого многочлена P(x) и любого числа 0 будет

[P(x)e x ] P (x)e x P(x) e x Q(x)e x ,

где Q(x) – многочлен той же степени, что и многочлен P(x) , то после

При этом, поскольку степени многочленов Q2 (x) , Q3 (x) , …, Qk (x)

совпадают со степенями многочленов P2 (x) , P3 (x) , …, Pk (x) , то каж-

дый из многочленов Q2 (x) , Q3 (x) , …, Qk (x) не равен нулю.

Разделим тождество (5.7) на e( 2 1) x и получим

Q2 (x) Q3 (x)e( 3 2 )x Qk (x)e( k 2 )x 0 .

Дифференцируя это тождество m2 раз, имеем

R3 (x)e( 3 2 )x R4 (x)e( 4 2 )x Rk (x)e( k 2 )x 0 .

Разделим это на e( 3 2 )x и полученное тождество продифференцируем m3 раз. Продолжая этот процесс, в результате получим тождество

Uk (x)e( k k 1)x 0 ,

где Uk (x) – многочлен той же степени, что и Pk (x) , не равный тождественно нулю. Но тогда последнее тождество приводит к противоречию, которое и доказывает требуемое утверждение.

Таким образом, решения (5.4) образуют фундаментальную систему решений, по которой получим общее решение линейного диффе-

59

ренциального уравнения (5.1)

yC1e 1x C2xe 1x C3x2e 1x ... Cm1 xm1 1e 1x

Cm1 1e 2 x Cm1 2 xe 2 x Cm1 3 x2e 2 x Cm1 m2 xm2 1e 2 x

Cm1 m2 ... mk 1 1e k x Cm1 m2 ... mk 1 2 xe k x

Cm1 m2 ... mk 1 3 x2e k x ... Cn xmk 1e k x .

Это решение можно представить в виде

y S1(x)e 1x S2 (x)e 2 x ... Sk (x)e k x ,

где S1(x) , S2 (x) , …, Sk (x) – произвольные многочлены, степени ко-

торых равны m1 1 , m2 1 , …, mk 1 соответственно. П р и м е р 5 . 5 . Найти общее решение уравнения

y(5) 4y 0 .

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение

5 43 0

имеет корни

Поэтому

yC1 C2 x C3 x2 C4e2x C4e 2x .

5.5.Случай кратных комплексных корней

Рассмотрим случай, когда среди корней характеристического уравнения (5.2) имеются кратные комплексные корни. Пусть, например, пара комплексно-сопряженных корней 1,2 a ib имеет крат-

60