СеверинВП ДУ высших порядков

зависимой тогда и только тогда, когда одна из них является линейной комбинацией остальных.

Если же тождество (3.9) имеет место тогда и только тогда, когда c1 c2 ... cn 0 , то функции y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) называются

линейно независимыми.

П р и м е р 3 . 1 . Проверить линейную зависимость функций:

Но многочлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда равны нулю все его коэффициенты. А значит из (3.10) следует, что c0 c1 c2 ... cn 0 , что и требовалось доказать.

3.5.Определитель Вронского и линейная зависимость функций

Пусть имеется n функций y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) , которые n 1

раз дифференцируемы в интервале [a,b] . Составим по ним и их производным определитель n -го порядка

31

Этот определитель называется определителем Вронского, или вронскианом функций y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) . Поскольку при данных функциях y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) вронскиан является функцией от переменной x , то его обозначают также W (x) . Определитель Вронского используют для доказательства линейной зависимости функций. Существует следующее необходимое условие линейной зависимости функций.

Т е о р е м а 1 . Если функции y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) , имеющие производные до порядка n 1 включительно, линейно зависимы на интервале [a,b] , то на этом интервале их определитель Вронского тождественно равен нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть данная система функций линейно зависима на интервале [a,b] . По этому условию существуют такие числа c1 , c2 , …, cn , не все равные нулю, что для всех x [a,b] будет выполняться тождество (3.9). Продифференцируем это тождество последовательно n 1 раз. Получим в результате систему уравнений:

мой линейных алгебраических уравнений с неизвестными c1 , c2 , …, cn . Но по условию эта система имеет ненулевые решения, а ,значит, ее

32

определитель равен нулю. Но определителем этой системы является определитель Вронского. Следовательно, при любом постоянном значении x [a,b] получим равенство W (x) 0 , а это значит, что на ин-

тервале [a,b] имеет место тождество W (x) 0 .

Утверждение обратное данной теореме, вообще говоря, неверно, то есть равенство нулю вронскиана не означает линейную зависимость функций. Это лишь необходимое условие линейной зависимости функций.

Рассуждением от противного доказывается следующая теорема.

Т е о р е м а 2 . Если определитель Вронского W (x) системы n

функций не равен тождественно нулю в некотором интервале [a,b] , то эти функции линейно независимы в этом интервале.

Контрольные вопросы

1.Дать определение линейного дифференциального уравнения n - го порядка.

2.Записать общий вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка.

3.Записать вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка, разрешенного относительно производной.

4.Что можно сказать о существовании и единственности решения линейного дифференциального уравнения n -го порядка?

5.Какое уравнение называется однородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка?

6.Привести общий вид однородного линейного дифференциального уравнения n -го порядка.

7.Записать общий вид неоднородного линейного дифференциального уравнения n -го порядка.

8.Привести общий вид линейного дифференциального оператора.

9.Записать символически линейный дифференциальный опера-

тор.

33

10.Сформулировать и доказать свойство аддитивности линейного дифференциального оператора.

11.Сформулировать и доказать свойство однородности линейного дифференциального оператора.

12.Какой результат применения линейного дифференциального оператора к линейной комбинации функций?

13.Записать неоднородное линейное дифференциальное уравнение с помощью линейного дифференциального оператора.

14.Записать однородное линейное дифференциальное уравнение

спомощью линейного дифференциального оператора.

15.Сформулировать теорему о применении линейного дифференциального оператора к произведению функций.

15.Доказать теорему о применении линейного дифференциального оператора к произведению функций.

16.На чем основано доказательство теоремы о применении линейного дифференциального оператора к произведению функций?

17.Записать формулу для применения линейного дифференциального оператора к произведению функций.

18.Дать определение линейно зависимых функций.

19.Какое условие линейной зависимости функций?

20.Дать определение линейно независимых функций.

21.Привести пример линейно зависимых функций.

22.Привести пример линейно независимых функций.

23.Записать определитель Вронского для системы функций.

24.Какие существуют обозначения для определителя Вронского системы функций?

25.Сформулировать необходимое условие линейной зависимости функций на основании определителя Вронского.

26.Доказать необходимое условие линейной зависимости функций на основании определителя Вронского.

27.Сформулировать необходимое условие линейной независимости функций на основании определителя Вронского.

34

L[ y1 y2 ] L[ y1] L[ y2 ] 0 ,

что и требовалось доказать.

Т е о р е м а 2 . Если функция y(x) является решением однородного линейного дифференциального уравнения, а C – произвольная постоянная, то и функция Cy(x) является решением.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению решения L[ y] 0 . По свойству однородности линейного дифференциального оператора L[Cy] CL[ y] 0 . Отсюда следует, Cy(x) – решение линейного однородного уравнения.

С л е д с т в и е . Если функции y1(x) , y2 (x) , …, ym (x) являются решениями однородного линейного дифференциального уравнения, то и любая линейная комбинация этих функций является решением, то есть решением является функция

y(x) C1 y1(x) C2 y2 (x) ... Cm ym (x) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применяя линейный дифференциальный оператор к функции y(x) и пользуясь предыдущими теоремами 1 и 2, получим

L[ y] L[C1 y1 C2 y2 ... Cm ym ] C1L[ y1] C2L[ y2 ] ... CmL[ ym ] 0 ,

откуда и следует, что y(x) есть решение уравнения.

Т е о р е м а 3 . Если система решений y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) однородного линейного дифференциального уравнения линейно независима, то вронскиан этой системы ни при одном значении переменной

xне обращается в нуль.

До к а з а т е л ь с т в о . Предположим противное, то есть что существует такое значение независимой переменной x0 , что вронскиан

системы решений дифференциального уравнения обращается в нуль, то есть W (x0 ) 0 . Составим систему равенств:

36

ложению он равен нулю:

Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений (4.1) имеет ненулевые решения. Пусть C1 , C2 , …, Cn – одно из таких решений. Составим по нему функцию

y(x) C1 y1(x) C2 y2 (x) ... Cn yn (x) .

По следствию теорем 1 и 2 функция y(x) также является решением однородного линейного уравнения. Равенства (4.1), в которых чис-

и нулевым начальным условиям. В силу единственности решения заключаем, что y(x) y(x) , то есть y(x) 0 и

C1 y1(x) C2 y2 (x) ... Cn yn (x) 0 .

37

Поскольку y(x) есть линейная комбинация системы решений

y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) , причём существуют коэффициенты Ci 0 , то эта система решений является линейно зависимой, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Теорема 3 имеет два следствия.

С л е д с т в и е 1 . Если y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) являются решениями линейного однородного уравнения, то их вронскиан либо не обращается в нуль ни в одной точке, либо тождественно равен нулю.

Действительно, если эта система функций линейно независима, то вронскиан W (x) 0 по теореме 3. Если же эти функции линейно зависимы, то по необходимому условию линейной зависимости W (x) 0 .

С л е д с т в и е 2 . Для того, чтобы решения y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) однородного линейного дифференциального уравнения L[ y] 0 были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан ни в одной точке не обращался бы в нуль.

4.2.Фундаментальная система решений однородных уравнений

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение n -го порядка

38

..............................................................................................

симы. В силу приведенных начальных условий определитель Вронско-

зависимы, поэтому образуют фундаментальную систему решений.

П р и м е ч а н и е . Из доказательства теоремы очевидно, что для уравнения (4.2) существует бесчисленное множество фундаментальных систем решений.

Т е о р е м а 2 . Любое неособенное линейное преобразование фундаментальной системы решений однородного линейного дифференциального уравнения образует фундаментальную систему решений.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) – фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения (4.2). С помощью неособенного линейного преобразования получим новую систему функций:

39

z1 a11y1 a12 y2 ... a1n yn ,z2 a21y1 a22 y2 ... a2n yn ,................................................

zn an1 y1 an2 y2 ... ann yn .

Здесь aik – некоторые числа. Рассмотрим матрицу такого преобразования

Поскольку по условию теоремы преобразование неособенное, то определитель этой матрицы отличен от нуля, то есть det A 0 .

Докажем, что функции z1(x) , z2 (x) , …, zn (x) также образуют фундаментальную систему решений. То, что эти функции являются решениями уравнения (4.2), вытекает из следствия основных теорем 1 и 2 для однородных линейных дифференциальных уравнений из предыдущего подраздела. Докажем теперь, что решения z1(x) , z2 (x) ,

…, zn (x) линейно независимы. Пользуясь формулами линейного преобразования, составим вронскиан для этой системы функций

W[z1, z2 , ..., zn ]

40