СеверинВП ДУ высших порядков

где C1(x) , C2 (x) , …, Cn (x) уже не произвольные постоянные, как в (6.5), а неизвестные пока функции. Подставляя выражение (6.6) в не-

Это и есть второе дополнительное условие. Аналогично, требуя, чтобы y имело тот же вид, что и u , получим третье условие

71

72

Умножая равенства (6.10) соответственно на pn (x) , pn 1(x) ,

Это и есть то основное условие, по отношению к которому условия (6.9) являются дополнительными.

то функция (6.6) является решением уравнения L[ y] f (x) . Определителем неоднородной системы уравнений (6.11) является

вронскиан W (x) , а так как функции y1 , y2 , …, yn линейно независи-

мы, то W (x) 0 . Поэтому система (6.11) имеет единственное решение:

сочно-непрерывными, а, значит, и интегрируемыми. Поэтому получим

73

y1 cos x , y2 sin x .

Запишем общее решение однородного уравнения u C1 cos x C2 sin x .

Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения ищем как

y C1(x) cos x C2 (x)sin x .

При n 2 система (6.11) примет вид:

Для данного уравнения получим:

Эта система имеет решение:

Окончательно получим

75

Практическое занятие

Т е м а з а н я т и я .

Метод вариации произвольных постоянных. Ц е л ь з а н я т и я .

Изучить метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений.

А у д и т о р н о е з а н я т и е .

1. Решить дифференциальные уравнения:

Контрольные вопросы

1.Какое уравнение называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка?

2.Привести общий вид неоднородного линейного дифференциального уравнения n -го порядка.

3.Сформулировать общие теоремы о неоднородных линейных дифференциальных уравнениях.

4.Доказать общую теорему 1 о неоднородных линейных диффе-

76

ренциальных уравнениях.

5.Доказать общую теорему 2 о неоднородных линейных дифференциальных уравнениях.

6.Сформулировать и доказать теорему об общем решении неоднородного линейного дифференциального уравнения n -го порядка.

7.Какой вы знаете общий метод интегрирования неоднородного линейного дифференциального уравнения?

8.Обосновать метод вариации произвольных постоянных для интегрирования неоднородного линейного дифференциального уравнения.

9.Вывести метод вариации произвольных постоянных для интегрирования неоднородного линейного дифференциального уравнения.

10.Доказать, что метод вариации произвольных постоянных позволяет получить общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

11.Из каких основных этапов состоит вывод метода вариации произвольных постоянных для решения неоднородного линейного дифференциального уравнения n -го порядка?

12.Записать вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения n -го порядка, которое находится методом вариации произвольных постоянных.

77

виду уравнения (7.1).

Поскольку общее решение соответствующего однородного уравнения (5.1) мы уже умеем находить на основании теории и методов раздела 5, то получение общего решения уравнения (7.1) в силу теоремы подраздела 6.2 сводится к нахождению какого-нибудь частного его решения. Оказывается, что эта задача решается весьма просто при некоторых специальных видах функции f (x) в правой части уравнения (7.1). Далее рассматриваются следующие случаи.

1. Уравнения с правой частью в виде полинома.

В этом случае правая часть уравнения (7.1) представима в виде

f (x) Pm (x) ,

где Pm (x) – многочлен степени m с известными коэффициентами. 2. Правая часть в виде произведения полинома и экспоненты. В данном случае правая часть уравнения (7.1) имеет вид

f (x) Pm (x)eax ,

где Pm (x) – многочлен степени m с известными коэффициентами, a

–некоторое число.

3.Правая часть в виде произведения полинома, экспоненты и гармонической функции.

В этом случае правая часть уравнения (7.1) имеет один из видов:

Для всех этих случаев на основании значений корней характеристического многочлена уравнения (7.1) и вида его правой части можно

79

записать частное решение с точностью до коэффициентов входящих в него многочленов. Значения этих коэффициентов находятся путем составления и решения системы линейных алгебраических уравнений. Такой метод нахождения частного решения уравнения (7.1) называется

методом неопределенных коэффициентов.

7.2. Уравнения с правой частью в виде полинома

Пусть правая часть неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (7.1) имеет вид

f (x) Pm (x) ,

где Pm (x) – многочлен степени m , то есть

Рассмотрим два случая.

В п е р в о м с л у ч а е предположим, что в уравнении (7.1) pn 0 . Тогда частное решение уравнения (7.2) можно искать в виде

где Qm (x) – некоторый многочлен степени m . Действительно, в этом случае, положим

v A0 xm A1xm 1 A2 xm 2 ... Am 1x Am ,

где A0 , A1 , …, Am – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя это равенство, получим:

v mA0 xm 1 (m 1)A1xm 2 (m 2)A2 xm 3 ... Am 1 ,

80