Справочный материал по теме "Дифференциальные уравнения"

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

_{, (17)}

где x – независимая переменная, y(х) – неизвестная функция этой перемен_{ной, – ее первая производная.}

Часто дифференциальное уравнение первого порядка встречается _{в разрешенной относительно форме:}

,

или в дифференциальной форме (в дифференциалах):

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

Решением дифференциального уравнения называется функция y = g(x), которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием. В результате интегрирования дифференциального уравнения первого порядка получают не одно решение, а семейство решений, зависящих от одной произвольной постоянной С:

y = g(x, С)

– общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.

Если решение получено в виде, не разрешенном относительно у:

G(x, y, C) = 0,

то его называют общим интегралом дифференциального уравнения 1-го порядка.

Всякое решение, получающееся из общего при конкретном числовом значении произвольной постоянной C = C⁰, называется частным решением:

y = g(x, С⁰).

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения (17), удовлетворяющее некоторому начальному условию

y(x₀) = y₀, (18)

нужно в общее решение уравнения y = g(x, С) подставить x = x₀, y = y₀:

y₀ = g(x₀, С), (19)

из полученного уравнения (19) найти C = C⁰, затем найденное значение C⁰ подставить в общее решение. В результате получим частное решение

y = g(x, С⁰).

Задача нахождения частного решения уравнения (17), удовлетворяющего начальному условию (18), называется задачей Коши.

Общее решение y = g(x, С) задает на плоскости XOY семейство интегральных кривых данного дифференциального уравнения, поскольку каж_{дому значению соответствует кривая с уравнением} Решению задачи Коши y = g(x, С⁰) соответствует одна интегральная кривая из этого семейства, проходящая через точку (x₀; y₀).

2. Методы решения основных типов дифференциальных уравнений 1-го порядка

2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

₍₂₀₎

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Отличительной особенностью уравнений этого типа является то, что в пра_{вой их части находится произведение функций одна из кото}рых зависит только от x, другая только от y.

Для того, чтобы найти решение уравнения (20), нужно разделить переменные x и y, собрав в левой и правой его частях функции, зависящие только от одной переменной.

Для разделения переменных в уравнении (20) заменим производную _{на и умножим обе части уравнения на}

Получили уравнение с разделенными переменными. Общий интеграл этого уравнения, а следовательно, и уравнения (20) находится почленным интегрированием его левой и правой частей:

где С – произвольная постоянная, С = С₂ – С₁.

Таким образом, чтобы найти общее решение или общий интеграл уравнения (20), нужно разделить переменные x и y и почленно проинтегрировать полученное равенство с добавлением произвольной постоянной С.

_{Пример 1. Решить дифференциальное уравнение: .}

Решение. Сравнивая данное уравнение с уравнением (20), замечаем, что оно является уравнением с разделяющимися переменными. Заменим _{на и разделим переменные, умножая обе части уравнения на}

.

Интегрируя полученное равенство, получим:

_{Отсюда – общий интеграл данного уравнения (кон}станты интегрирования включены в общую константу С). Разрешая его относительно у, можно записать общее решение данного уравнения в виде

_Ответ:

Замечание. Уравнение вида

₍₂₁₎

также является уравнением с разделяющимися переменными, так как здесь коэффициенты при dx и dy являются произведениями функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Уравнение вида (21) решается тем же способом, что и уравнение (20).