5.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

₍₃₈₎

где p и q – вещественные числа, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение линейного неоднородного уравнения (38) имеет вид:

_{, (39)}

_{где y0 – общее решение соответствующего однородного уравнения (37), а – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (38).}

Построение общего решения неоднородного уравнения состоит из двух этапов. Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения y₀, затем найти частное решение неоднородного уравнения.

Решение y₀ для линейного однородного дифференциального уравнения (37) находят, используя характеристическое уравнение (п. 5.1), а для _{нахождения частного решения уравнения (38) можно использовать либо} метод вариации произвольных постоянных, либо метод неопределенных коэффициентов.

Метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных применяется для нахож_{дения частного решения линейного неоднородного дифференциального} уравнения в тех случаях, когда известно общее решение y₀ соответствующего однородного уравнения.

_{Если известно , то функция будет частным решением уравнения , если функции} с₁(х) и с₂(х) удовлетворяют так называемым "условиям вариации":

₍₄₀₎

Для нахождения частного решения необходимо решить систему уравнений (40), затем проинтегрировать полученные функции:

(41)

_{и записать частное решение: . Константы интегриро}вания в (41) можно взять равными нулю, так как мы находим частное решение.

Пример использования метода вариации произвольных постоянных приведен в образце выполнения контрольной работы.

Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов применяется для нахождения частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в тех случаях, когда функция f(x), стоящая в правой части этого уравнения, имеет один из двух "специальных" видов:

, (42)

где P_n(x) – многочлен степени n: P_n(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n–1 +….+ a_n–1 x+ a_n,

или

, (43)

где M и N – числа.

1. _{Если , то частное решение можно искать в виде:}

(44)

где k₁, k₂ – корни характеристического уравнения, Q_n(x) – многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами, подлежащими определению, например,

_{, и т. д.}

2. _{Если , то частное решение можно} искать в виде:

(45)

где k₁, k₂ – корни характеристического уравнения, А и В – неизвестные постоянные, подлежащие определению.

_{Пример 6. Найти общее решение уравнения .}

Решение.

1 этап. Построим общее решение y₀ соответствующего однородного _{уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем корни: – корни вещественные} и различные. По табл. 4 определим вид линейно независимых частных ре_{шений однородного уравнения: , и запишем его общее ре}шение:

.

_{2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения . В заданном уравнении – правая часть 1-го специального вида: Здесь , Pn(x) = 12x, т. е. многочлен в правой части – 1-й степени (n = 1). Число совпадает с одним корнем характери}стического уравнения . Следовательно, согласно (44) частное _{решение будем искать в виде:}

,

где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

_{Найдем производные и подставим в данное неоднородное уравнение , при этом для простоты использу}ем следующую форму записи:

.

_{Здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми} входят в уравнение, а под чертой приравниваются (тождественно) левая _{и правая части уравнения после подстановки в него с группи}ровкой подобных членов.

_{После сокращения обеих частей тождества на , получаем: , откуда, приравнивая коэффициенты при х}¹ _{и при х}⁰ в обеих частях тождества, получаем:

_{Решая систему, находим . Подставляя найденные значения в , получим: .}

Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение уравнения:

.

_{Ответ: .}

Пример использования метода неопределенных коэффициентов для случая, когда функция, стоящая в правой части уравнения, имеет 2-й специальный вид, приведен в образце выполнения контрольной работы.