4.2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, не содержащие независимой переменной

Уравнение такого типа имеет вид:

_{. (34)}

Отличительной особенностью этого уравнения является то, что в него не входит явно независимая переменная x.

Способ решения уравнения (34) состоит в следующем. Примем переменную y за новую независимую переменную, вместо неизвестной функ_{ции y(х) введем новую неизвестную функцию p(y) по формуле = p(y).} Тогда, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим

_{, где .}

_{Подставляя в (34) выражения для и , получим дифференциаль}ное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции p(y):

Определив тип этого уравнения и решив его, следует записать его об_{щее решение в виде . Так как p = , полученное выражение яв}ляется дифференциальным уравнением 1-го порядка относительно искомой функции y(х):

.

Это уравнение с разделяющимися переменными, которое следует решать по обычной схеме (см. п. 2.1).

Таким образом, решение уравнения 2-го порядка (34) сводится к последовательному решению двух дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Пример решения уравнения 2-го порядка, не содержащего независимой переменной, приведен в образце выполнения контрольной работы.

5. Решение линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами

5.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Уравнение вида

₍₃₅₎

где p(x), q(x) и f(x) – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка.

Отличительной его особенностью является то, что искомая функция у, _{и ее производные и входят в уравнение линейно – в первых степе}нях и не перемножаются между собой.

_{Если , то уравнение (35) называется линейным однородным} дифференциальным уравнением и имеет вид:

_{. (36)}

_{если же , то уравнение (35) называется линейным неоднородным} дифференциальным уравнением 2-го порядка.

Общее решение линейного однородного уравнения 2-го порядка (36) имеет вид:

,

где у₁ и у₂ – два линейно независимых частных решения этого уравнения , а С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Общее решение линейного неоднородного уравнения (35) имеет вид:

,

где y₀ – общее решение соответствующего однородного уравнения (36), _{– какое-либо частное решение неоднородного уравнения (35).}

5.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

_{Если коэффициенты при у, и – постоянные, то уравнение}

₍₃₇₎

где p и q – вещественные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

_{Общее решение уравнения (37) имеет вид: , где у1 и у2 –} два линейно независимых частных решения этого уравнения, С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Для нахождения линейно независимых частных решений у₁ и у₂ уравнения (37) используется квадратное уравнение вида

,

которое называется характеристическим уравнением для уравнения (37).

В табл. 4 приведены виды функций у₁ и у₂ и вид общего решения уравнения (37) в зависимости от вида корней характеристического уравнения.

Таблица 4

Корни характеристического уравнения	Вид функций у1 и у2	Вид общего решения уравнения
Вещественные различные	,
Вещественные равные	,
Комплексно-сопряженные	,

_{Пример 5. Найти общее решение уравнения .}

Решение. Характеристическое уравнение для данного однородного _{уравнения имеет вид k}² _{+ 16 = 0 (коэффициент при равен нулю).} Его корнями являются комплексные числа k₁ = 4i, k₂ = –4i. Здесь α = 0, β = 4. _{Тогда , и общее решение данного уравнения: .}

_Ответ: