С помощью формулы (7) рассчитываем d – статистику:

Вычисленное значение d сравнивается с интервалами, найденными в соответствии со значениями и (приложение 2). Здесь п – количество наблюдений, т – число факторов, – уровень значимости. В нашем случае критические значения статистики Дарбина-Уотсона при 5%-ном уровне значимости, то есть при =0,05, равняются: и .

Таблица 7 – Расчет интервалов

Принимаем гипотезу о существовании положительной автокорреляции	Зона неопре-делен-ности	Принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции	Зона неопре-делен-ности	Принимаем гипотезу о существовании отрицательной автокорреляции
0		2		4
0 0,88		1,32 2 2,68		3,12 4

Из таблицы 7 видим, что d - статистика удовлетворяет неравенству:

1,32 < 2,136 < 2,68,

значит принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

Замечание. Если значение d-статистики удовлетворяет неравенствам или , то при выбранном уровне значимости не возможно сделать вывод о наличии или об отсутствии автокорреляции остатков, необходимо дальнейшее исследование.

3 Мультиколлинеарность

На практике при количественной оценке параметров эконометрической модели довольно часто сталкиваются с проблемой взаимосвязи между объясняющими переменными. Если взаимосвязь довольно тесная, то оценка параметров модели может иметь большую погрешность. Такая взаимосвязь между объясняющими переменными называется мультиколлинеарностью. Мультиколлинеарность переменных приводит к смещению оценок параметров модели. Поэтому необходима проверка факторов на мультиколлинеарность.

Наиболее простой формой проверки мультиколлинеарности является анализ корреляционной матрицы. Значение парных коэффициентов корреляции свидетельствует о том, связаны между собою переменные или нет. Но если в модели большее двух факторов, вопрос о мультиколлинеарности не может ограничиваться информацией, которая дает эта матрица. Более общая проверка предусматривает вычисление определителя матрицы R, ( ).

Наиболее полное исследование мультиколлинеарности можно осуществить на основе алгоритма Феррара-Глаубера. Этот алгоритм включает три вида статистических критериев, на основе которых проверяется мультиколлинеарность всего массива переменных ( , хи-квадрат); каждой факторной переменной со всеми другими (F-статистика) и мультиколлинеарность каждой пары факторов (t-статистика). Все эти критерии при сравнении с их критическими значениями дают возможность сделать конкретные выводы относительно наличия или отсутствия мультиколлинеарности независимых переменных.

Пример 4.

Затраты на питание зависят от факторов: общие затраты, состав семьи и заработок. Надо исследовать наличие мультиколлинеарности по алгоритму Феррара-Глаубера.

Затраты на питание,	Общие затраты,	Состав семьи,	Заработок,
22	45	1,7	70
30	72	1,9	105
45	131	2	172
62	228	3,4	302
48	90	3	150
64	145	3,6	205
76	225	4,7	303
108	357	5,2	480
65	136	4,9	195
90	218	5	315

Решение.

1. Найдем корреляционную матрицу. Эта матрица симметричная. В нашем случае размера 3х3. Она имеет вид:

, (8)

где исчисляется по формуле

, (9)

где , , .

Вычислим вспомогательную таблицу:

Таблица 8 - Расчет элементов корреляционной матрицы

45	1,7	70	2025	2,89	4900	76,5	3150	119
72	1,9	105	5184	3,61	11025	136,8	7560	199,5
131	2	172	17161	4	29584	262	22532	344
228	3,4	302	51984	11,56	91204	775,2	68856	1026,8
90	3	150	8100	9	22500	270	13500	450
145	3,6	205	21025	12,96	42025	522	29725	738
225	4,7	303	50625	22,09	91809	1057,5	68175	1424,1
357	5,2	480	127449	27,04	230400	1856,4	171360	2496
136	4,9	195	18496	24,01	38025	666,4	26520	955,5
218	5	315	47524	25	99225	1090	68670	1575
1647	35,4	2297	349573	142,16	660697	6712,8	480048	9327,9

В нашем случае число испытаний равняется 10. Из таблицы 8 имеем:

Рассчитаем средние квадратичные отклонения:

Рассчитанные значения подставим в формулу (9):

Для данной задачи корреляционная матрица (8) имеет вид:

Элементы этой матрицы характеризуют тесноту связи между факторами.

В нашем случае Между каждой парой факторов существует определенная связь.

2. Найдем определитель корреляционной матрицы по формуле (10):

(10)

В нашем случае получим такие результаты:

Найдем - статистику по формуле (11):

(11)

В нашем случае число испытаний число факторов , поэтому формула (11), имеет вид:

При степени свободы и уровне значимости находим по таблице (приложение 3) критическое значение .

Если , то мультиколлинеарность существует, в противном случае, то есть при мультиколлинеарность отсутствует.

В нашем случае поскольку ( ), то можем считать что мультиколлинеарность присутствует.

3. Найдем обратную матрицу к матрице с помощью формулы (12)

, (12)

где – алгебраическое дополнение к элементу .

Найденные алгебраические дополнения подставим в формулу (12):

4. Рассчитаем - статистику по формуле (13):

(13)

где – диагональные элементы матрицы

В нашем случае Эти значения подставим в формулу (13). Получим

; ;

Фактические значения статистики сравниваются с табличными (приложение 4) при и степенях свободы и уровне значимости . Если , то переменная с другими не коррелирует. В противоположном случае, то есть если , то переменная коррелирует с другими переменными.

В нашем случае при уровне значимости и степенях свободы табличное значение критерия равняется Поскольку все то можно сделать вывод, что переменные коррелируют между собой.

5. Найдем частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между двумя переменными при условии, что третья не влияет на эту связь.

Частный коэффициент приблизительно равен парному. Это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности между переменными и .

6. Рассчитаем значения статистик:

Табличное значение статистики при 7 степенях свободы и уровне значимости 0,05 (приложение 5) равняется . Если , то между соответствующими переменными нет мультиколлинеарности. В противоположном случае, то есть если , между соответствующими переменными имеется существенная мультиколлинеарность.

Найденное фактическое значение критерия больше табличного значения. Можно сделать вывод, что между переменными и также возможна коллинеарность. Сравнивая эти результаты, можем заключить, что из рассмотрения следует исключить фактор .