4 Множественная регрессия

Каждое явление в природе, экономике, общественной жизни, технике определяется комплексом причин. На уровень развития одного показателя могут влиять много факторов. Уровень влияния факторов на показатель может существенно различаться. Все эти закономерности следует учитывать во время проведения эконометрического анализа, прогнозирования и планирования.

При существовании линейной зависимости объясняемой переменной (показателя) от нескольких объясняющих переменных (факторов) общее выражение уравнения множественной регрессии имеет вид (14):

(14)

Модель описывает совместное одновременное влияние факторов на показатель. Задача исследования состоит в оценке параметров регрессии по результатам выборочных наблюдений над переменными, которые включены в модель. Построение модели проводят методом наименьших квадратов.

Пример 5.

Построить эконометрическую модель, которая характеризует зависимость между затратами на питание (условные денежные единицы), общими затратами (условные денежные единицы) и составом семьи (количество членов семьи) на основе данных, которые приведенные в таблицы.

	22	30	45	62	48	64	76	108	65	90
	45	72	131	228	90	145	225	357	136	218
	1,7	1,9	2	3,4	3	3,6	4,7	5,2	4,9	5

Решение. Для построения линейной многофакторной модели (15)

, (15)

где – теоретические значения показателя.

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры ищут как решение системы линейных уравнений (16)

(16)

Вспомогательные вычисления удобно проводить в таблице:

Таблица 9 - Расчет элементов системы (16)

45	1,7	22	2025	2,89	76,5	990	37,4
72	1,9	30	5184	3,61	136,8	2160	57
131	2	45	17161	4	262	5895	90
228	3,4	62	51984	11,56	775,2	14136	210,8
90	3	48	8100	9	270	4320	144
145	3,6	64	21025	12,96	522	9280	230,4
225	4,7	76	50625	22,09	1057,5	17100	357,2
357	5,2	108	127449	27,04	1856,4	38556	561,6
136	4,9	65	18496	24,01	666,4	8840	318,5
218	5	90	47524	25	1090	19620	450
1647	35,4	610	349573	142,16	6712,8	120897	2456,9

В последней строке записывают суммы чисел в столбце. Можно найти средние для каждого показателя по формулам (17)-(19)

; (17)

; (18)

. (19)

Система (16) для определения параметров регрессии имеет вид:

Из первого уравнения можно выразить и подставить во второе и третье уравнения:

Тогда уравнение регрессии (15) имеет вид

. (20)

Важным этапом регрессионного анализа является оценка практической значимости синтезированной модели. Проверку значимости модели проводят на основании показателей тесноты связи между признаками и .

Множественный коэффициент корреляции равен коэффициенту корреляции между фактическими и теоретическими значениями объясняемой переменной. Его вычисляют по формуле (21)

(21)

Для вычисления множественного коэффициента корреляции целесообразно рассчитать вспомогательную таблицу:

Таблица 10 - Расчет элементов коэффициента

45	1,7	22	23,83	484	568,01	524,33
72	1,9	30	30,39	900	923,61	911,73
131	2	45	41,86	2025	1752,26	1883,70
228	3,4	62	71,21	3844	5070,29	4414,77
90	3	48	42,97	2304	1846,42	2062,56
145	3,6	64	57,96	4096	3359,83	3709,70
225	4,7	76	81,70	5776	6675,38	6209,43
357	5,2	108	109,71	11664	12035,85	11848,46
136	4,9	65	67,38	4225	4540,20	4379,77
218	5	90	82,99	8100	6887,34	7469,10
		610	610,01	43418	43659,19	43413,54

В соответствии с формулой (21) множественный коэффициент корреляции равняется

.

Чем более близок к единице, тем лучше данная модель описывает фактические данные. Рассчитанный коэффициент указывает на очень точное соответствие математической модели фактическим данным.

Коэффициент детерминации равен квадрату множественного коэффициента корреляции. Он измеряет долю общей дисперсии относительно среднего , которую можно объяснить регрессией.

В нашем случае . То есть 96% дисперсии показателя (затраты на питание) можно объяснить с помощью построенной модели зависимости от (общих затрат) и (состава семьи).

Полезным является построение интервальных границ для коэффициента множественной регрессии.

Интервал доверия для множественного коэффициента корреляции находится по формуле (22)

, (22)

где .

В нашем случае по таблицам Стьюдента (приложение 5) находим критическую точку , поэтому .

Тогда доверительный интервал, найденный по формуле (22), имеет вид или . Поскольку коэффициент множественной корреляции должен находиться в границах от 0 до 1, то доверительным интервалом для него будет , что указывает на очень точный подбор модели.

Проверку значимости уравнение регрессии делают таким образом: по критерию Фишера вычисляют фактическое значение -статистики (23):

. (23)

По таблице критических точек Фишера (приложение 4) находят критическое значение статистики , где количество наблюдений, количество факторов, – уровень значимости.

Если , то уравнение регрессии не является значимым, коэффициент множественной корреляции не существенно отличается от нуля. Если , то уравнение регрессии является значимым, коэффициент множественной корреляции существенно отличается от нуля.

В нашем случае рассчитаем статистику по формуле (23) . По таблицам Фишера (приложение 4) найдем критическое значение . Поскольку , то уравнения считают значимым.

Экономический смысл параметра b_i регрессии: если фактор изменится на единицу своего измерения, то показатель изменится на единиц своего измерения при условии, что остальные факторы остаются без изменений.

В нашем случае . Если фактор изменится на единицу своего измерения, то показатель изменится на единиц своего измерения. То есть если общие затраты возрастут (или уменьшатся) на 1 условную денежную единицу, то затраты на питание возрастут (или уменьшатся) на условных денежных единиц. Поскольку , то если фактор изменится на 1 единицу своего измерения, то показатель изменится на единиц своего измерения. То есть если количество членов семьи возрастет (или уменьшится) на одного человека, то затраты на питание возрастут (или уменьшатся) на условных денежных единиц.