2.6. Неразветвленные и разветвленные электрические цепи.

Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. На рис. 2.6а, а представлена схема простейшей неразветвленной цепи. Во всех элементах ее течет один и тот же ток. Простейшая разветвленная цепь изображена на рис. 2.6 б; в ней имеются три ветви и два узла. В каждой ветви течет свой ток.

Ветвь - участок цепи, образованный последовательно соединенными элементами (через которые течет одинаковый ток) и заключенный между двумя узлами.

Узел - это точка цепи, в которой сходятся не менее трех ветвей. Если в месте пересечения двух линий на электрической схеме поставлена точка (рис. 2.6в), то в этом месте есть электрическое соединение двух линий, в противном случае (рис. 2.6г) его нет.

Рис.2.6

Кроме термина «узел» иногда используют термин «устранимый узел». Под устранимым узлом понимают точку, в которой соединены два последовательных сопротивления (рис. 2.6д). Этим понятием пользуются при введении данных в ЭВМ о значении и характере сопротивлений.

Последовательное соединение элементов - это соединение элементов, в которых протекает один и тот же ток (рис.2.6а).

Это соединение элементов можно заменить одним эквивалентным сопротивлением, вычисленным по формуле:

Эквивалентная проводимость определяется по формуле:

.

Параллельное соединение элементов – это соединение элементов, когда напряжение на каждом из элементов имеет одно и тоже значение.

Это соединение элементов можно заменить одним эквивалентным сопротивлением, вычисленным по формуле:

Эквивалентная проводимость определяется по формуле:

.

Смешанное соединение резистивных элементов

При наличии в цепи только одного источника ЭДС внешнюю по отношению к источнику часть электрической цепи можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение элементов.

Рис.2.7.

В приведенной схеме (рис.2.7) несколько резистивных элементов, которые соединены параллельно.

Расчет смешанного соединения нужно начинать с определения эквивалентной проводимости g каждого параллельно соединенного резистивного элемента, то есть подключенных к одной и той же паре узлов. В схеме

;

эквивалентная проводимость равна:

.

После замены параллельного соединения резистивных элементов эквивалентным резистивным элементом с сопротивлением (рис.2.12) получается эквивалентная схема с последовательным соединением двух резистивных элементов r₁ и r_э.

2.7. Основные методы расчета электрических цепей.

2.7.1. Метод контурных токов.

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Таким образом, метод контурных токов можно определить как ме­тод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа.

Следовательно, метод контурных токов более экономен при вычисли-тельной работе, чем метод на основе законов Кирхгофа (в нем меньше число уравнений).

R₂ R₃

R₁

Е₁

R₅

E₅

R₄

E₄

I₁₂

I₂₂

Рис.2.8.

Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме с двумя независимыми контурами (рис. 2.8). Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I₁₁, а в правой (также по часовой стрелке) - контурный ток I₂₂. Для каждого контура составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением R₅) течет сверху вниз ток I₁₁-I₂₂ . Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

Для первого контура

(2.6)

или

(2.7)

Для второго контура

или

В уравнении (2.12) множитель при токе I₁₁, являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через R₁₁, множитель при токе I₂₂ (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) — через R₁₂.

Перепишем эти уравнения следующим образом:

(2.8)

Здесь

где R₁₁ - полное, или собственное, сопротивление первого контура; R₁₂ - сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; E₁₁ - контурная ЭДС первого контура, равная алгебраической сумме ЭДС этого контура (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура); R₂₂ - полное, или собственное, сопротивление второго контура; R₂₁ - сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; E₂₂ - контурная ЭДС второго контура.

В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной ветви между k- и m-контурами (R_km) входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов I_kkIl_mm вдоль этой ветви встречны, и со знаком плюс, если направления этих токов согласны.

Если в схеме больше двух контуров, например три, то система урав-нений выглядит следующим образом:

(2.9)

или в матричной форме

(2.10)

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например по часовой стрелке.

В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с сопротивлениями R₁, R₂ на рис. 2.8), найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют токи ветвей. Например, в ветви с сопротивлением R₅ протекающий сверху вниз ток равен разности I₁₁ -I₂₂

Если в электрической цепи имеется п независимых контуров, то число уравнений тоже равно п.

Общее решение системы п уравнений относительно тока I_kk :

(2.11)

где

(2.12)

есть определитель системы.

Алгебраическое дополнение _km получено из определителя  путем вычеркивания k-го столбца и т-й строки и умножения полученного оп-ределителя на (-1)^k+m.

Если из левого верхнего угла определителя провести диагональ в его правый нижний угол (главная диагональ) и учесть, что R_km = R_mk, то можно убедиться в том, что определитель делится на две части, являющиеся зеркальным отображением одна другой. Это свойство определителя называют симметрией относительно главной диагонали. В силу симметрии определителя относительно главной диагонали _кт = _тк.