2.7.4. Теорема взаимности.
Теорема взаимности формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток в k-ветви, вызванный источником ЭДС Еm, находящимся в т-ветви, Ik = Еm gkm равен току 1т в т-ветви, вызванному источником ЭДС Ек (численно равной ЭДС Еm), находящимся в k-ветви, Iт = Ек gmk.
Для доказательства теоремы взаимности обратимся к рис. 2.9а. Выделим две ветви схемы: к- и m-ветви. Включим в ветвь т источник ЭДС Еm в ветвь к - амперметр А. Амперметр для измерения тока 1к включаем только для наглядности; сопротивление амперметра полагаем равным нулю. Пусть каждая из ветвей к и т входит соответственно только в k- и m-контуры. Поэ-тому по методу контурных токов 1к =Ет Δkm/Δ. Поменяем местами ис-точник ЭДС и амперметр, т. е. источник ЭДС переместим из т- в k - ветвь и назовем теперь Ек, а амперметр - из к- в m-ветвь. В этом случае ток Im = Ек Δтк /Δ.
Так как Ек = Ет, а Δтк =Δкт в силу симметрии определителя системы Δ относительно главной диагонали , то ток 1к в схеме на рис 2.9б равняется току 1m в схеме на рис. 2.9в.
При практическом использовании теоремы взаимности важно иметь в виду взаимное соответствие направлений токов и ЭДС в схемах на рис. 2.9б, в.
Так, если ЭДС Ек источника ЭДС, находящегося в k-ветви схемы (рис. 2.в), направлена согласно с контурным током 1к (рис. 2.9б), то положительное направление отсчета для тока Iт (рис. 2.9в) будет совпадать с положительным направлением контурного тока по ветви т (ЭДС Ет в схеме на рис. 2.9б направлена по Iт).
Для нелинейных цепей теорема (принцип) взаимности невыполнима. Цепи, для которых не выполняется принцип взаимности, называют необратимыми.
2.7.5. Теорема компенсации.
Рассмотрим два варианта этой теоремы. В любой электрической цепи без изменения токораспределения сопротивление можно заменить:
источником ЭДС, ЭДС которого численно равна падению напряжения на заменяемом сопротивлении и направлена встречно току в этом сопротивлении;
источником тока J, ток которого численно равен току в этом сопро-тивлении и имеет то же направление, что и ток I.
Номер ветви соответствует индексу ЭДС.
Для доказательства теоремы компенсации выделим из схемы одну ветвь с сопротивлением R, по которой течет ток I, а всю остальную часть схемы условно обозначим прямоугольником (рис. 2.11а).
Если в выделенную ветвь включить два одинаковых и противоположно направленных источника ЭДС Е, ЭДС которых равна падению напряжения на сопротивлении R под действием тока I (Е = I R; рис. 2.11б), то ток I в цепи от этого не изменится. Убедимся, что разность потенциалов между точками а и с на рис. 2.11б при этом равна нулю. Действительно,
Если φс =φа, то точки а и с можно объединить в одну, т. е. закоротить участок ас и получить схему, где вместо сопротивления R включен источник ЭДС Е (см. рис. 2.11в).
Схема, соответствующая второму варианту теоремы, изображена на рис. 2.11г. Чтобы прийти к ней, заменим последовательно соединенные R и Е на участке ас (см. рис. 2.11б) параллельным соединением источника тока J = E/ R = I и сопротивления R. Так как Uac = 0, то ток через R будет отсутствовать и потому R можно удалить из схемы.
Если ЭДС Е участка bc включить в состав источника тока, то получим схему, где напряжение Uba = -I R (рис. 2.11г).
Рис.2.11