1.2 |
Односторонние производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Назовем левой (правой) производной функции ( ) в точке левый (правый) предел |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
при |
|
|
|
|
|
0. Обозначения: |
′ |
|
( ) или ′( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
→ |
0 |
|
|
− |
0) |
для левой и ′ ( ) или ′( + 0) для правой. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||
Из утверждений для односторонних пределов вытекает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. Если |
|
′( ), то |
′ |
( ), |
′ ( ), причем |
′( ) = ′ ( ) = ′ ( ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Если |
|
′ |
( ), ′ |
( ) и ′ ( ) = ′ |
( ), то |
|
′( ) = ′ |
|
( ) = ′ |
( ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||
3. Если |
|
′ |
( ) = ′ ( ), тогда |
@ |
′( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
̸ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Например, |
пусть |
( ) |
= |
|
. |
|
Тогда ′ |
(0) = |
lim |
|
| |
| = |
1, в то |
|
время |
как |
′ (0) = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
0 |
− |
0 |
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
lim |
| |
| |
= 1 = |
|
1 |
|
@ |
′(0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0+0 |
|
|
|
|
̸ − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3 |
Геометрическая интерпретация производной |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что |
tg |
|
= |
( +Δ )− ( ) |
|
|
|
= arctg |
( +Δ )− ( ) |
. Пусть |
|
lim |
. Иными |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= → |
|
|
|||||||||||
словами, |
|
— угол наклона касательной в |
|
точке . Тогда |
|
= arctg ( |
lim ( +Δ )− ( ) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
arctg ′( ) |
0 |
|
tg |
0 |
= ′( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
→0 |
|
) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2Дифференцируемость функции
|
Назовем функцию ( ) дифференцируемой в точке , если ( + |
) − ( ) = |
= |
|||
|
+ ¯o(Δ ), где не зависит от |
, а o(Δ¯ |
) = (Δ )Δ , где |
lim (Δ ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
Теорема 15.1 (критерий дифференцируемости). ( ) дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда ′( ), причем = ′( ).
Доказательство.
Необходимость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть ( ) дифференцируема в точке |
= |
+¯o(Δ ) |
|
= + |
o(Δ¯ ) |
= +¯o(1). |
|||||
|
|
||||||||||
Тогда lim |
= |
|
= ′( ). |
|
|
|
|
|
|
||
|
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47