- •1 Аксиоматика множеств действительных чисел
- •Действительные числа
- •Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями
- •Изоморфизм
- •Мощность множества
- •Метод математической индукции
- •2 Ограниченные и неограниченные множества
- •Ограниченные множества
- •Верхняя и нижняя грань
- •Теорема Архимеда
- •3 Предел числовой последовательности
- •Числовые последовательности
- •Свойства бесконечно малых числовых последовательностей
- •Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей
- •Предел числовой последовательности
- •4 Сходящиеся последовательности
- •Свойства сходящихся числовых последовательностей
- •Предельный переход и неравенства
- •Теорема о двух милиционерах
- •5 Монотонные последовательности
- •Определение
- •Теорема Вейерштрасса
- •Число Эйлера
- •Система стягивающихся сегментов
- •6 Частичные пределы последовательности
- •Подпоследовательности
- •Частичные пределы
- •Критерий сходимости числовой последовательности
- •7 Критерий Коши
- •Фундаментальная последовательность
- •Критерий Коши
- •Телескопический признак сходимости
- •Покрытие множеств
- •Предельные точки множеств
- •9 Предел функции
- •Определения
- •Предел функции в точке по Коши
- •Предел функции в точке по Гейне
- •Эквивалентность формулировок
- •Односторонние пределы
- •10 Теоремы, связанные с понятием предела функции
- •Арифметические операции с пределами
- •Предел композиции функций
- •Предельный переход и неравенства
- •11 Критерий Коши существования предела функции
- •Критерий Коши
- •Асимптотическое сравнение функций
- •Свойства отношения эквивалентности
- •Замечательные пределы
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Таблица эквивалентностей
- •12 Непрерывность функции
- •Понятие непрерывности
- •Свойства непрерывных функций
- •Арифметические операции над непрерывными функциями
- •Непрерывность композиции функций
- •Классификация точек разрыва
- •Точки разрыва монотонной функции
- •13 Локальные и глобальные свойства непрерывных функций
- •Локальные свойства
- •Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •Сохранение знака непрерывной в точке функции
- •Глобальные свойства
- •Прохождение непрерывной функции через 0 при смене знаков
- •Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение
- •Критерий непрерывности монотонной функции
- •14 Теоремы Вейерштрасса
- •Первая теорема Вейерштрасса
- •Вторая теорема Вейерштрасса
- •Производная функции
- •Понятие производной
- •Односторонние производные
- •Геометрическая интерпретация производной
- •Дифференцируемость функции
- •16 Теоремы о дифференцируемости функций I
- •Правила дифференцирования
- •Функции, заданные параметрически
- •17 Теоремы о дифференцируемых функциях II
- •18 Теоремы о дифференцируемых функциях III
- •19 Производные высших порядков
- •Определение
- •Формула Лейбница
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Инвариантность первого дифференциала
- •Нарушение инвариантности для дифференциалов высших порядков
- •Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •20 Равномерная непрерывность
- •Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности и колебание функции на отрезке
- •21 Раскрытие неопределенностей
- •Первое правило Лопиталя
- •Второе правило Лопиталя
- •Применение на практике
- •22 Формула Тейлора
- •Постановка задачи
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа
- •Единственность разложения
- •Разложение по формуле Маклорена
- •23 Исследование функций методами дифференциального исчисления I
- •Условия монотонности функций
- •Условия точек экстремума
- •Асимптота графика функции
- •Выпуклость функции и точки перегиба
- •Геометрическая интерпретация выпуклости
- •Точки перегиба
- •25 Функции нескольких переменных
- •Определения
- •Классификация точек
- •Открытые и замкнутые множества
- •Окрестность точки
- •Предел функции
- •Функции двух переменных
- •Непрерывность
- •Частные производные ФНП и ее дифференциал
- •Необходимые условия дифференцируемости
- •Достаточное условие дифференцируемости
- •27 Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных
- •Дифференцируемость сложной функции
- •Инвариантность формы первого дифференциала и правила дифференцирования
- •28 Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Смешанные производные
- •Второй дифференциал ФНП
- •29 Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала
- •Частная производная первого порядка
- •Касательная плоскость
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •30 Неявные функции
- •Понятие неявной функции
- •Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции
- •Теорема о разрешимости системы неявных функций
- •31 Безусловный экстремум функции нескольких переменных I
- •32 Безусловный экстремум функции нескольких переменных II
- •Необходимое условие локального экстремума в терминах второй производной
- •Критерий Сильвестра
- •Достаточное условие локального экстремума для функции двух переменных
- •Формула Тейлора и замена переменных для ФНП
- •Формула Тейлора в многомерном случае
- •Замена переменных в дифференциальных уравнениях
- •33-34 Условный локальный экстремум
- •Метод исключения для нахождения точек условного экстремума
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Достаточные условия существования условного экстремума по методу Лагранжа
- •35 Первообразная функция и неопределенный интеграл I
- •Основные определения
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Методы интегрирования
- •36 Первообразная функция и неопределенный интеграл II
- •Разложение многочлена на множители
- •Комплексные числа
- •Разложение многочлена на множители
- •Интегрирование рациональных дробей
- •37 Первообразная функция и неопределенный интеграл III
- •Некоторые тригонометрические выражения
- •Квадратичные иррациональности
- •38 Определенный интеграл Римана I
- •Разбиение отрезка
- •Свойства измельчения
- •Определенный интеграл
- •Необходимое условие интегрируемости
- •Критерий интегрируемости функции по Риману
- •39 Определенный интеграл Римана II
- •Интегральные суммы Дарбу
- •Достаточные признаки интегрируемости
- •Свойства интегрируемых функций
- •Безымянное свойство
- •Аддитивность
- •Линейность интеграла
- •Интегрируемость произведения
- •Неотрицательность определенного интеграла
- •Интегрируемость модуля
- •Ну и еще два свойства
- •40 Определенный интеграл Римана III
- •Теоремы о среднем
- •Первая теорема о среднем
- •Вторая теорема о среднем
- •Связь между определенным и неопределенным интегралами
- •Основная формула интегрального исчисления
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •41 Несобственные интегралы
- •Несобственные интегралы I рода
- •Несобственные интегралы II рода
- •Сходимость в смысле главного значения
- •Критерий Коши сходимости несобственных интегралов I рода
- •42 Признаки сравнения несобственных интегралов
- •Простейшие признаки сравнения
- •Абсолютная и условная сходимость
- •Признак Дирихле
- •Признак Абеля
- •43 Приложения интегрального исчисления к вычислению площадей
- •Многоугольные фигуры
- •Свойства площади
- •Квадрируемость фигуры
- •Критерии квадрируемости
- •Криволинейная трапеция
- •Параметрически заданная кривая
- •Площадь фигуры в полярной системе координат
- •Понятие кривой на плоскости и в пространстве
- •Длина дуги кривой
- •Объем тела вращения
- •Дифференцирование под знаком интеграла
- •Теория
- •Примеры
- •Вопросы для самопроверки перед коллоквиумом
- •45 Численные методы
- •Метод бисекции
- •Нахождение всех корней полинома
- •Метод Ньютона
- •Метод золотого сечения
- •Градиентный спуск
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Метод прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод Симсона
- •Различные равенства и неравенства
- •Тригонометрические тождества
- •Классика
- •Гиперболические функции
- •Предел числовой последовательности
- •Функции
- •Функции нескольких переменных
- •Таблица производных
- •Ряды Маклорена
- •Таблица неопределенных интегралов
- •Методы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Метод Остроградского
- •Рационализация интегралов
- •Обобщенная формула интегрирования по частям
- •Более нестандартные примеры
- •Определенные и несобственные интегралы
Для функции = ( , ), где |
и — независимые переменные, |
||||||||
2 |
∂2 |
|
2 |
|
∂2 |
∂2 |
2. |
||
= |
|
|
+ 2 |
|
+ |
|
|||
∂ 2 |
|
∂ 2 |
|||||||
|
|
|
|
∂ ∂ |
|
||||
Пусть = ( 1, 2, . . . , ), где 1, 2, . . . , — два раза дифференцируемые функции некоторых независимых переменных 1, 2, . . . , . Тогда
|
|
∂2 |
|
∂ |
|
∑ |
∑ |
|
∑ |
|
|
2 = |
|
|
+ |
|
2 . |
=1 =1 |
∂ ∂ |
=1 |
∂ |
||
|
|
|
|||
Теорема 46.8 (Формула конечных приращений Лагранжа). Если функция (¯) дифференцируема на множестве G R, то ¯ : ¯ + Δ¯ G Θ (0, 1), такое что
|
∂ (¯ + ΘΔ¯) |
|
||
∑ |
|
|
|
. |
|
∂ |
|||
(¯ + Δ¯) − (¯) = |
|
|||
=1 |
|
|
|
|
Пусть поверхность в R3 |
задана непрерывной функцией = ( , ), т.е. |
|||
= {( , , ( , )) | ( , ) } и 0 = ( 0, 0, 0) .
Предположим также, что функция ( , ), задающая поверхность непрерывно дифференцируема в области . Тогда касательная плоскость к существует в любой точке0 и имеет уравнение
− ( 0, 0) = ′ ( 0, 0) · ( − 0) + ′ ( 0, 0) · ( − 0).
Уравнение же нормали в точке 0 имеет вид:
− 0 |
= |
− 0 |
= |
− ( 0, 0) |
. |
|||
′ |
( 0, 0) |
|
′ |
( 0, 0) |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если поверхность задана неявно уравнением ( , , ) = 0, причем функция непре-
рывно |
дифференцируема в области R3, |
0 |
, ( 0, 0, 0) |
= 0 и ( ′ ( 0))2 + |
||||
( ′ |
( |
))2 + ( ′ |
( ))2 |
= 0, то касательная плоскость в точке |
|
существует и имеет |
||
|
0 |
|
0 |
̸ |
|
|
0 |
|
уравнение
′ ( 0)( − 0) + ′( 0)( − 0) + ′( 0)( − 0) = 0.
6Таблица производных
|
|
|
|
|
|
( |
1 |
|
)′ = |
|
|
|
|
|
||||||
( )′ = 0. |
|
|
|
|
|
−1 +1 |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
′ = 1. |
|
(√ )′ = |
2√ |
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
( )′ = −1, . |
( |
√ )′ = |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
||||
|
(1 )′ = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|||||
|
1 |
. |
|
(sin )′ = cos . |
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||
163
(cos )′ = − sin
(tg )′ = cos12 .
(ctg )′ = −sin12 .
(sh )′ = ch .
(ch )′ = sh .
(th )′ = ch12 .
(cth )′ = −sh12 .
(arcsin )′ = |
√ |
1 |
|
. |
1− |
2 |
|||
|
|
|
|
(arccos )′ = −√11− 2 .
(arctg )′ = 1+1 2 .
(arcctg )′ = −1+1 2 .
(arsh )′ = |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2+1 |
|
|
|
|
|||||||
(arch )′ = |
√ |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
||||
(arth )′ = |
1 |
|
при |
| |
|
| |
< 1. |
||||
1− |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(arcth )′ = 1−1 2 при | | > 1.
( )′ = .
( )′ = ln .
(ln )′ = 1 .
(log )′ = ln1 .
(| |)′ = sgn при ̸= 0.
(sgn )′ = 0.
|
( ( ) ( ))′ = ( ( ) ln ( ))′ = ( ) ln ( ) · ( ′( ) ln + |
( )( ′) |
) = |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) ( ) ( ′( ) ln + |
( ) |
). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) ′ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
||||
7 Производные -ого порядка |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
( )( ) = ( |
− |
1)( |
− |
2) . . . ( |
− |
+ 1) − . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(( + ) )( ) = ( |
− |
1) . . . ( |
− |
+ 1)( + ) − . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( )( ) = ln . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(sin )( ) |
= sin |
+ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(cos ) |
|
= |
|
cos ( + |
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(ln )( ) = (−1) −1( −1)! .
(log )( ) = (−1) −1( −1)! .
ln
( ( ) + ( ))( ) = ( )( ) + ( )( ).
Формула Лейбница.
|
( ) ( − )( ) · ( )( ). |
( ( ) · ( ))( ) = =0 |
|
∑ |
|
|
164
8Ряды Маклорена
= 1 + + 2 + · · · + + ¯o( ). 2! !
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
2 −1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
sin = − |
|
3! |
|
+ · · · |
+ (−1) |
|
|
|
|
(2 |
− |
1)! |
+ ¯o( |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
cos = 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
+ · · · + (−1) |
|
|
|
|
|
|
+ ¯o( 2 +1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2! |
|
|
(2 )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
|
|
|
17 7 |
|
|
|
|
62 9 |
+ ¯o( 9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
tg = + |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
15 |
|
|
315 |
|
2835 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ctg = |
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ ¯o( 9). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
45 |
|
945 |
4725 |
|
93555 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ · · · + (−1) −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln(1 + ) = − |
|
|
|
|
|
|
|
+ ¯o( ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= 1 + + 2 |
+ · · · + + ¯o( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
= 1 + |
|
− |
2 |
+ |
|
3 |
+ |
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) (2 )! |
+ ¯o( ). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
8 |
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 )( !)2(4 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + ) = 1 + + |
( − 1) |
2 + |
· · · |
+ |
( − 1) . . . ( − + 1) |
|
+ ¯o( ), |
0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
N { } |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 5 |
|
+ · · · + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 )! |
|
|
|
2 +1 + ¯o( 2 +2), при | | < 1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
arcsin = + |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
40 |
|
|
4 ( !)2(2 + 1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg = |
− |
|
3 |
|
+ |
5 |
|
|
|
|
|
+ |
(−1) −1 |
2 −1 |
+ ¯o( 2 ), при |
< 1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − · · · |
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
165
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 −1 |
+ ¯o( 2 ). |
|
|
|
||||||||||||
sh = + |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ · · · + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3! |
|
|
5! |
|
|
|
(2 |
− |
1)! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch = 1 + |
|
2 |
|
+ |
|
4 |
|
+ · · · + |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 + ¯o( 2 +1). |
|
|
|
||||||||||||||
|
2! |
|
|
4! |
|
|
(2 )! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arsh = |
|
|
|
3 |
|
+ |
3 5 |
|
|
|
+ |
|
|
|
(−1) (2 )! |
2 +1 |
+ ¯o( 2 +2), при |
|
< 1. |
||||||||||||||
− |
6 |
|
|
|
40 − · · · |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ( !)2(2 + 1) |
|
| | |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 −1 |
+ ¯o( 2 ), |
при | | < 1. |
|
|
|||||||||||
arth = + |
|
|
+ |
|
+ · · · |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
5 |
|
2 |
− |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9Таблица неопределенных интегралов
Константа везде опущена, но, разумеется, ее присутствие подразумевается. Здесь приведены наиболее важные неопределенные интегралы. За более полным списком читатель может обратиться к википедии.
∫ |
|
|
{ln | |, |
= −1 |
|||
|
|
|
|
|
+1 |
, |
̸= −1. |
= |
|
|
+1 |
||||
∫ |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
|
|||
|
2+ 2 |
arctg . |
|||||
|
= 2 ln |
|
. |
||||
∫ |
2− 2 |
− |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫
ln = ln − .
= ln | ln |.
ln
∫ log = lnln−1 .
∫ = .∫
= ln .∫
|
∫ |
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
± |. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2± 2 = ±2 ln | |
|
|
|
|||||||||
|
∫ |
√ |
|
= arcsin |
( > 0). |
|||||||||
2− 2 |
||||||||||||||
|
∫ |
|
− |
= arccos |
( |
> 0 |
). |
|||||||
|
√ 2− 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
√ |
= ln | + √ 2 ± 2| ( > 0). |
||||||||||||
|
||||||||||||||
2± 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
√ |
= ±√ 2 ± 2 ( > 0). |
||||||||||||
|
||||||||||||||
2± 2 |
||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
√ |
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
∫( > 0)−. |
|
|
= |
2 |
|
− |
|
+ |
2 |
arcsin |
|
|||||||
|
∫ |
√ |
|
|
|
= 2 √ |
|
± 22 ln | + |
|||||||||||
2 |
± 2 |
2 ± 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√
2 ± 2| ( > 0).
∫
sin = − cos .
∫
cos = sin .
∫
tg = − ln | cos |.
|
∫ |
|
|
|
ln |
|
sin . |
||||
|
ctg2 |
|
= |
|
1 |
| |
|
|
| |
||
|
∫ |
sin |
|
= |
2 |
( |
− |
sin cos ). |
|||
|
cos |
2 |
= |
1 |
|
|
|
||||
|
∫ |
|
2 |
( + sin cos ). |
|||||||
|
∫ |
arcsin = arcsin + √ |
|
|
|
|
|
1 − |
2. |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
∫ |
arccos = arccos − √ |
|
. |
|||
|
1 − |
||||||
∫ arctg = arctg − 12 ln(1 + 2).
∫ arcctg = arcctg + 12 ln(1 + 2).
∫
sh = ch .
∫
ch = sh .
166