Достаточность. Пусть lim ( , , E) = 0. Это означает, что
→0+0
> 0 ( ) > 0 : 0 < ′ < ( ′, , E) < .
Выберем какое-нибудь из указанных ′. Тогда при 1, 2 |
E, | 1 − 2| < ′ будем иметь |
|
| ( 1) − ( 2)| 6 |
sup | ( 1) − ( 2)| |
= ( ′, , E) < , |
| 1− 2|< ′
т.е. функция равномерно непрерывна на множестве E.
[:|||||:]
Часть 21
Раскрытие неопределенностей
1Первое правило Лопиталя
Теорема 21.1. Пусть есть функции ( ) и ( ), такие что:
1.и дифференцируемы на интервале ( , ), причем и конечны.
2.lim ( ) = lim ( ) = 0.
→ +0 → +0
3. |
′( ) = 0 |
при |
|
|
( , ) |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
̸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
′( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
|
|
lim |
|
|
|
R, где R = R {−∞} {+∞}. |
||||||||||||||
|
|
′( ) = |
|||||||||||||||||||
|
+0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
lim |
( ) |
= |
|
lim |
|
′( ) |
= . |
|
||||||||||
|
( ) |
|
|
′( ) |
|
||||||||||||||||
→ |
+0 |
|
|
|
+0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. Доопределим функции ( ) и ( ) в точке , приняв, что ( ) = ( ) = 0. Поскольку в условии теоремы ничего не говорится о значениях функций в этой точке, это
можно сделать. После этого ( ), ( ) |
C[ , ). Пусть |
|
( , ), тогда |
для точек и |
|
||||||||||||||||||||
выполняются все условия теоремы Коши, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
( , ) |
|
( , ) : |
( ) |
= |
( ) − ( ) |
= |
′( ) |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
( ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
− |
( ) |
|
′( ) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По определению предела, lim |
′( ) |
|
= |
|
|
> |
0 |
|
|
|
|
) |
> |
0 : |
|
: |
< < + |
|
|||||||
′( ) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
→ +0 |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
′( ) |
− |
< . Но для каждого из указанного интервала найдется |
свое |
, такое что |
′( ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
′( ) |
|
′( ) |
||||||||||||||||||||||
|
. |
Но |
раз |
|
( , ), то, очевидно, выполняется |
|
|
′ |
− |
|
|
< |
|
|
|
− |
|
|
< , что и |
|||||||
( ) |
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
( ) |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[:|||||:] |
||||||||||
|
|
|
Чтобы применять теорему и для бесконечных интервалов ( , ), достаточно сделать замену |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
и продифференцировать сложную функцию ( |
( ) )′ = ′ ( ) · (− |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
59
2Второе правило Лопиталя
Теорема 21.2. Пусть есть функции ( ) и ( ), такие что:
1.и дифференцируемы на интервале ( , ), причем и конечны.
2.lim ( ) = lim ( ) = ∞.
→ +0 → +0
3. ′( ) ̸= 0 при ( , ).
|
|
|
|
′( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
lim |
|
= |
R. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
+0 |
′( ) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
lim |
( ) |
= |
|
lim |
′( ) |
= . |
|||||||||
|
( ) |
|
|
′( ) |
|
|||||||||||||
→ |
+0 |
|
|
+0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
||||
Доказательство. Для начала положим, что 6 0 (при > 0 доказательство практически
|
|
|
|
|
(0 |
4 ) |
→ +0 |
′( ) |
|
|
|||||
аналогично приведенному). Пусть |
|
|
|
|
, 1 . Тогда по определению предела |
lim |
′( ) |
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( , ) : ( , ) |
′( ) |
− |
< . Здесь мы просто приняли, что = + , в остальном |
||||||||||||
′( ) |
|||||||||||||||
же интерпретация определения |
предела |
|
не изменилась. |
|
|
|
|
||||||||
Выберем произвольное из данного |
|
интервала ( , ). Заметим, что выполняется теорема |
|||||||||||||
Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( ) − ( ) |
|
= |
′( ) |
, где < < < < . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
( ) |
− |
( ) |
|
|
|
′( ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )
( ) · 1 − ( ) = ′( ),
( ) ′( )( )
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
( ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
( ) |
|
′( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
· |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
||||||
Заметим теперь, что lim |
|
( ) |
= |
lim |
|
( ) |
|
= 0, т.к. ( ) |
и ( ) — константы. Тогда |
|||||||||||||
|
|
|
( ) |
|
||||||||||||||||||
→ +0 |
( ) |
→ +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||||||
выберем для текущего закрепленного |
такое ( ) > 0 : ( , + ), + < |
< |
||||||||||||||||||||
(( ) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ( ) < . Тогда получаем следующую оценку:
( )
|
|
|
|
( ) |
|
|
( |
|
|
|
1 − ) |
|
|||||||
|
|
|
|
( ) |
|
1 |
+ |
|
|||||||||||
|
|
|
1 − ( ) |
|
|
1 |
− |
, |
|
1 + |
. |
|
|
||||||
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку (0, 41 ), то |
1+1− |
= 1 − |
2 |
|
> 1 − 2 |
и |
1+ |
= 1 + |
2 |
< 1 + 38 . Учитывая, что |
|||||||||
1+ |
1− |
1− |
|||||||||||||||||
60
′( ) ′
′( ) U ( ):
|
|
|
|
|
1 |
− |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
′( ) |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
· |
|
( ) |
|
(( − )(1 − 2 ), ( + ) (1 + |
|
|
) ) = |
|
|
|
|||||
( ) |
′( ) |
|
|
( ) |
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
+ 3 2) ) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ( − ( + 2 − 2 2), + ( + 3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
}. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) U ( ), где = max { + 2 − 2 2, + 3 + |
3 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
8 |
8 |
|
|
Как видно, lim = 0, а для любого сколь угодно малого всегда можно найти соответ-
ствующее , такое, что все значения отношения функций попадут в заданную -трубку. Это и означает, что предел отношения функций равен . [:|||||:]
Данная теорема также элементарно обобщается на случай бесконечных интервалов.
3Применение на практике
Для начала заметим, что оба правила можно использовать и для вычисления пределов вида
lim ( ) , а также для классического случая lim ( ) . Соответствующие доказательства могут
→ −0 ( ) → ( )
быть найдены в других источниках.
Пример вычисления (по первому правилу):
→0+0 |
( |
( →0+0 |
) |
|
( →0+0 |
− ) = |
|
|
|
|
|
||||
lim |
> 0) = exp |
lim |
ln |
= exp lim |
ln |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
( →0+0 |
− ) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
→0+0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= exp |
|
|
|
= exp |
= exp(0) = 1. |
|||||||
|
|
|
− − −1 |
||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим также, что правила Лопиталя напрямую применимы только в случаях, когда имеется неопределенность вида 00 или ∞∞. Остальные неопределенности для применения правил Лопиталя нужно сводить к этим, например, в случае 1∞:
→ |
→ |
∞ → |
( → |
) |
( → 1/ ( ) ) |
||
lim ( ) = 1, lim ( ) = |
lim( ( )) ( ) = exp |
lim ( ) ln( ( )) |
= exp |
lim |
ln( ( )) |
. |
|
|
|||||||
Т.е. получили неопределенность вида 00 . Рассмотрим также выражение ∞ − ∞:
lim ( ) = lim ( ) = |
∞ |
lim( ( ) |
− |
( )) = lim |
|
1 |
|||
1 |
|||||||||
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е. неопределенность вида 00 .
Однако правило Лопиталя применимо далеко не всегда:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
1 |
|
. |
||
− |
1 |
= |
lim |
( ) |
( ) |
||||||||
1 |
1 1 |
|
|||||||||||
|
→ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) · ( ) |
|
|||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
− sin |
= |
lim |
1 |
− cos |
. |
|
||||||
→+∞ + sin |
|
→+∞ 1 |
+ cos |
|||
61