Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Высшая математика. Дифференциальное исчисление. практикум. Пантелеев И.Н

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
30.04.2022
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
x +cos3 x.

Вариант 25

№1. lim

x3

− 3x − 2

.

 

 

x→2

x − 2

№3. lim ln(9 (− 2x 2)). x→2 sin x2π

№5. y = arccos 3x + 3 3x 2

№7. y = 4 arcctg5x + ln 3.

 

 

 

 

 

3

 

x

−

1

 

 

№2. lim

1

9

3 .

 

 

x→

1

 

+ x −

 

2x

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№4. lim

e2 x

− e−5x

.

2 sin x − tgx

x→0

 

+1. №6. y = (ctgx)ln x .

№8. y = 3

№9. y = log 3 x tg 3 3x.

№11. y 5 − x 4 = sin(xy).

№13. y =

3

1 .

 

 

 

x

 

№15. y =

1 + 3x 2

, x0 =1.

3 + x 2

 

 

 

№17.

x =

t ,

 

 

 

1

"

 

 

 

 

y =

1 − t

, y xx = ?

 

 

 

 

№18. y = (3x − 7) 3−x , y iv

№19. y = (ctg3x)2e x , y' = ?

№20. lim

(cos x)

ctgx

 

 

.

sin 4 x

x→2π

 

 

sin(πx)

 

 

 

 

x

 

№21. lim

2

−

 

 

.

3

x→3

 

 

 

 

№10. y = x3 + arcsin x . e x

x = a(t − sin t ),

№12. y = a(1 − cos t ).

№14. y = (ax + b) e −x .

№16. y = 5 x3 , x =1,03.

= ?

221

Вариант 26

 

 

 

 

 

 

 

№1. lim

x3

+ 5x 2

+ 8x + 4

. №2. lim

9 + 2x

− 5

.

x3 + 7x 2 +16x +12

 

 

x→−2

x→8 3 x 2

 

 

№3. lim

ln tgx

.

 

 

№4. lim

e4 x − e2 x

.

 

 

 

 

 

2tgx − sin x

 

 

 

 

 

x→π

cos 2x

 

 

x→0

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№5. y = 3 5 + arcctg 2 x.

№7. y = 6tgx − 6 . x3

№9. y = (cos x)lg x .

№11. e x + e y − 2 xy −1 = 0

№12. x = cht,y = sht.

№13. y = x (ln x −1).

№14. y = 2 x.

№15. y =14 x −153 x +

№16. y = x 4 , x = 3,998.

№6. y = (3e)−cos3 x .

№8. y = ln 3 5x arccos x.

№10. y = x arcsin x + 1 − x.

2, x0 =1.

 

x = tgt

 

№17.

 

1

 

 

''

 

y =

 

, yxx = ?

 

sin 2t

 

 

 

№18. y = (x 2 + 3) ln(x − 3), y iv = ?

№19. y = (tgx)4e x , y' = ?

 

 

1

 

№20. lim

 

x x−π

 

tg

 

 

2 .

 

x→π

 

2

 

2

 

 

 

 

6 x

№21. lim (sin x)π .

x→π6

222

Вариант 27

№1. lim

x

3

− 3x − 2

.

№2.

 

 

 

3

x

−

1

 

 

 

 

 

4

2

.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

x→−1 (x 2

− x − 2)

x→

1

 

1

+ x −

 

2x

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№3. lim

eπ − e x

.

sin 5x − sin 3x

x→π

 

№5. y = arccos(2e2 x −1).

№7. y = x − e 2 x . x + e 2 x

№4 lim

32 x − 7 x

 

.

 

5x

x→0 arcsin 3x −

 

№6. y = (3e)ctg 4 x .

№8. y = e 2 x ( 2x −1).

№9. y = x arcsin x .

 

 

 

№10. y = log 2 sin 2

x + x.

 

y

 

y

 

y

 

 

 

3

+ 3t +1,

 

 

 

 

 

 

 

№11.

+ e x −

3

= 0.

№12.

x = t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 5t

+1.

№13. y = ln(x +

 

 

+ 4 ).

 

y = 3t

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

№14. y = 5 − 3 cos 2

x.

 

 

 

 

 

 

 

№15. y = 34 x − x, x0 =1.

 

 

 

 

 

 

 

№16. y = 1 + x + sin x, x = 0,01.

 

 

 

 

 

 

№17.

x = sin t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, y"xx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = sec t

= ?

 

 

 

 

 

 

 

№18. y = (x + 7)ln(x + 4), y iv = ?

№19. y = x etgx , y' = ?

5

№20. lim (cos x)tg 5x sin 2 x .

x→4π

№21. lim sin((x3π)) sin 2(x −2 ) . x→2 sin xπ

223

Вариант 28

 

 

 

№1. lim

(x3

− 2x −1)2 .

x→−1

x 4

 

+ 2x +1

№3. lim

tg3x

.

 

 

x→π

tgx

 

 

 

2

 

 

 

 

 

№5. y = ln tg

 

2x +1

.

5

 

 

 

 

№7. y = 22 +− xx .

 

4

x − 2

.

 

№2. lim

x − 4

 

x→16

 

 

№4 lim

e2 x − e3x

.

arctgx − x 2

x→0

 

x

№6. y = 2 ln x .

№8. y = x arcsin ln x.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

№9. y = (ln x)

 

.

 

 

 

 

№10. y =

 

 

−

.

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x −1

 

№11. x 4 + y 4

= x 2 y 2 .

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = tgt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

,

 

 

 

 

 

 

y = sin 2t +

2 cos 2t, t

2

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№13. y = a sin(bx + c).

№14. y = 2 x

+ 2 −x.

 

 

№15. y =

3x + 2x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, x0 =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№16. y = 3 3x + cos x, x = 0,01.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№17. x = cos t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ln sin t, y"xx = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№18. y = (4x3 + 5) e 2 x+1 , y v

= ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№19. y = x3x

2 x , y' = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№20. lim(2e x−1 −1)

3x−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x−1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

№21. lim(sin x)x−1 .

x→2

224

Вариант 29

 

 

№1. lim

 

x2 + 2x −3

.

 

 

 

3x

 

x→−3 x3 + 4x2 +

 

№3. lim

arctg (x2 − 2x).

 

 

x→2

 

sin(x3π )

 

 

№5. y =

 

x + x +

x.

 

y =

x2 * e x2

 

 

№7.

 

x2 +1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№2. lim

9 + 2x −5 .

x→8

3 x − 2

№4. lim

52 x − 23x

.

 

x→0 sin x +sin x2

 

№6. y = e0.5tg 2 x .

№8. y = x sin x cos x.

№9. y = x2x .

 

 

№10. y = 1 + sin 4x − 1 −sin 4 x.

№11. e x sin y −e y cos x = 0.

№12.

 

 

 

2

),

 

x = ln(1 +t

 

 

 

y = t arctgt,t (0, ∞).

№13. y =

1 − x2 arcsin x.

№14. y =

1 + x

.

 

 

 

 

 

 

 

№15.

 

1 − x

 

 

 

y = 3

3 x − x, x =1.

 

 

 

 

 

 

0

 

№16.

y = 4

x3 , x =1, 03.

 

№17.

x = cos 2t

, yxx''

= ?.

 

 

 

 

y =

2sec2 t

 

 

№18. y = (5x −8) 2−x , yiv = ?

1

№19. y = (arcctgx)2 ln arctgx , y' = ?

xπ

№20. lim(3 − 2x)tg 2 .

x→1

1

№21. lim ln tgx x+π4 . x→π4 1 −ctgx

225

Вариант 30

 

 

№1. lim

(1 + x3 )−(1 +3x).

x→0

x + x5

 

 

№3. lim

sin 2 x −tg

2 x

.

(x −π )4

 

x→π

 

 

№5. y =

arcctg x .

 

 

 

2

 

 

№7. y = sin x −cos x . sin x + cos x

№2. lim

9 + 2x −5 .

x→8

3 x − 2

№4. lim

35x −2x

.

 

x→0

x −sin 9x

№6. y = x2 52ctg 2 x.

№8. y = 3x3 log3 x.

№9. y = (cos x)ctgx .

 

 

№10. y = ln tg

x

−

 

 

x

.

 

 

2

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x = arcsin(t 2

−1),

№11. x y = arctg

 

.

 

№12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,t (0, 2 ).

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = arccos t

№13. y = 3−x2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№14. y =

ax +b

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cx + d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№15. y =

 

x2

− 2x −3

, x0 =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№16. y = x2 +5, x =1.97.

 

 

 

 

 

 

 

x = t −sin t

, yxx'' = ?

 

 

 

 

 

 

 

№17.

 

 

−cos t

 

 

 

 

 

 

 

y = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№18. y = x2 sin(5x −3), y ''' = ?

№19. y =19x19 x19 , y' = ?

№20. lim(2e x−1 )xx−1 .

x→1

№21. lim(tgx)ctgx .

x→π4

226

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приступая к изучению высшей математики, необходимо знать, что математику нельзя изучать пассивно, нужно стараться глубоко вникать в смысл математических понятий и теорем, пытаться самостоятельно решать математические задачи. Результатами изучения курса высшей математики должны быть развитие аналитического мышления, овладение навыками решения математических задач, выработка умения самостоятельно ставить задачи и выбирать или разрабатывать методы их решения.

Материал практикума предоставляет возможность студентам самостоятельно освоить основные положения одного из важнейших разделов в курсе высшей математики - дифференциального исчисления. Позволяет приобрести и закрепить практические навыки решения простых типовых задач, а также познакомится с методикой построения приложений производных к задачам механики и физики. Наиболее эффективный результат может быть достигнут, если использовать пособие, как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной работы.

Несколько слов о том, как работать с этой книгой. Прежде, чем приступать к изучению методов решения задач, необходимо повторить основные определения и теоремы, относящиеся к данному разделу, постараться понять и запомнить наиболее часто используемые формулы. После этого можно переходить к изучению разобранных примеров. Некоторые типовые задачи и методы рассмотрены в пособии, как в общем виде, так и на примерах. Весьма полезно изучить и то и другое. Это поможет вам не только отработать навыки решения задач, но и лучше понять и усвоить теоретический материал.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.

2.Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. – Альфа, т. 1, 1998. - 687с., т. 2, 1998. – 584с.

3.Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу / Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. – М.: Высшая школа, 1999. - 695с.

4.Пискунов П.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / П.С. Пискунов. – М.: Наука, т. 1, 2001. — 415с.,

т.2, 2001. — 544с.

5.Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. – М.: Наука, 1986.

6.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие для втузов / В.П. Минорский. — М.:

Наука, 1987.

7.Щипачев B.C. Высшая математика / В.С. Щипачев. — М.: Высш.школа, 2003.

8.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-

пресс, 2008.

9.Гусак А.А. Высшая математика / А.А.Гусак. — Мн.: «ТетраСистемс», 2003. Т. 1. - 543 с.

10.Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, Ч. 1, 2.

—М.: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003.

11.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман. — М.: Наука, 1985.

12.Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. – М.: Рольф, 2007.

228

227

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………..

3

1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ……..

4

1.1. Множества и операции над ними………………

4

1.2.Логическая символика…………………………….. 6

1.3.Понятие функции…………………………………. 7

1.4.Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей…………………………….….. 16

1.5.Непрерывность и точки разрыва функции………. 29

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ………………….. 42

2.1.Вычисление производной………………………… 42

2.2.Производные функций, не являющихся явно заданными…………………………………… 55

2.3.Производные высших порядков……..…………… 60

2.4.Дифференциал функции…………………………… 71

2.5.Приложения производной к задачам геометрии и физики……………………………… 80

2.6. Теоремы о среднем……………………………… 91

2.7.Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя………………………………. 96

2.8.Возрастание и убывание функций………………. 101

2.9. Максимум и минимум функции………………… 106

2.10.Наибольшее и наименьшее значение функции… 113

2.11.Решение задач на максимум и минимум………. 118

2.12.Направление выпуклости кривой.

Точки перегиба…………………………………… 131

2.13.Асимптоты кривой……………………………… 135

2.14.Исследование функций и построение графиков…………………………….. 143

2.15.Формула Тейлора и Маклорена…………………. 156

229

3.ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА……………… 165

4.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ……………………………………………… 196

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………. 227

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………… 228

230

Соседние файлы в предмете Высшая математика