Высшая математика. Дифференциальное исчисление. практикум. Пантелеев И.Н

y′ =

1

1+ 2x

−

2x ln 2(1+ 2x ) +(1−2x )2x ln 2

=

2x ln 2

2

1−2x

(1+ 2x )2

22 x −1.

1

4

y′ = esin3 x 3sin2 x cos x +53 x ln 5

x−5 =

5

4

= 3esin3 x sin2 x cos x +53 x −1 x−5 ln 5.

1.7. Найти производные: а)

y = arctg

1 − x ;

1 + x

x

2 −3ϕ

; г) y = 3arctge−

б) u = arcsin 1 − 4t ; в) r = arccos

.

3

4

Решение. а) Находим производную как от сложной

1

1

1− x −

1

−(1+ x) −(1− x)

1

функции y′ =

2

= −

.

2

1− x

2

(1+ x)

2 1− x2

1+

1+ x

1+ x

б) Производная равна

(−4)

u

′

1

1

1

= 1 − (1

− 4t) 2

1 − 4t = − t(1 − 4t) .

в) Производная равна

r′ = −

1

−

3

3

.

− 3ϕ 2

4

=

4 + 4ϕ − 3ϕ

2

1 −

2

4

г) Производная равна

(−1)

x

1

e−

x

y′ = 3

e

−

3

3

−

=

.

2 x

2 x

1 + e−

3

1 + e−

3

3

1.8. Найти производные: а)

y = sh2

x

+ ch2

x

;

2

2

′

x

x

1

x

x

1

y

= 2sh 2 ch 2

2

+ 2ch 2 ch 2 2 = shx.

б) Дифференцируя как сумму и пользуясь свойствами

гиперболических функций, имеем

1

1

sh2 x − ch2 x

4

y′ =

−

=

= −

.

ch2 x

sh2 x

sh2 xch2 x

sh2 2x

1.9. Найти производные:

2

xe−x ,

x

≤ 0;

x

,

x

< 0;

а) y =

2

,

б) y =

1

,

),

x ≥ 0

,

x

> 0

ln(1 + x

2 − x, −1 < x < 2;

e

2 −5x + 6, 2 ≤ x

≤ 3;

в) y = x

−3,

3 < x < 4,

x

2x,

x < 0;

2x

y′ =

, x ≥ 0.

+ x

2

1

−x

(1 − x),

x

≤ 0;

e

y′ =

x

> 0.

0,

−1,

−1 ≤ x ≤ 2;

y′ = 2x −5, 2 ≤ x ≤ 3;

< x < 4.

1, 3

′

1

,

( x >1).

откуда ( Archx)

=

x2 −1

в)

производная

обратной

функции

равна

′

1

2

1

1

( Arthy) =

= ch

x =

=

,

y′x

1 −tg 2 x

1 − y2

откуда ( Arthx)′

=

1

,

(

x

<1).

1 − x2

г)

производная

обратной

функции

равна

′

1

2

1

1

( Arcthy) =

= −sh

x

= −

= −

,

y′x

ctg 2 x −1

y2 −1

′

1

(

x

>1).

откуда ( Arcthx)

= − x2 −1,

1.12. Пользуясь результатами предыдущего примера,

найти производные: а) y = Archln х; б) y = Arcth

2x

.

x2 +1

Решение.

а) По

правилу дифференцирования

сложных

функций имеем y

′

1

1

1

=

ln2 −1

x = x

ln2 x −1 .

б) Функция сложная, поэтому

y

′

1

2(x2 +1) − 2x 2x

2(x2 +1)

= − 2x

2

(x2 +1)2

= − (x2 −1)2 .

−1

+

x2

1

от х.

y

Чтобы найти производную от неявной функции

oт

x и y

у’=ϕ (х ,у).

20. Если

функциональная

зависимость

между

переменными x

и y

задана параметрически

x = ϕ(t);

y =ψ (t),

yt′

xt′

то производная от y

по x: равна y′x =

, а от х по y:

x′y =

.

xt′

yt′

30. Логарифмическое дифференцирование. Если y = uv, то

y

′

= vu

v −1 ′

v

′

u

+u

v ln u, т. е. производная показательно-степенной

y

′

sin(x + y)

или

= −1

+sin(x + y) .

y′ =

2(x − 2 y)

.

ey + 4x

в) Дифференцируем обе части равенства по у, считая х

сложной функцией, зависящей от y

′

x

1

′

+

y −(ln x + y x

= 0.

x ln y

x )

Разрешая равенство относительно х', получим

ln x −

x

x

′

=

y

ln y −

y .

x

г) Дифференцируем обе части равенства по у

′

2

+ 2x

2

y

−

4

= 2

1

′

y

2xx y

x x .

2

− x2 y

′

y

x(2 − x2 y2 )

Отсюда

x =

=

.

xy2 −

1

y(x2 y2 −1)

x

2.2. Найти производные у'x:

32

t;

x

= e

cos 2t

;

а)

x = cos

б)

32t;

= ln sin t;

;

y

y = sin

и производные х’y:

= tg ϕ ;

x = arctg

t ;

x

2

г)

2

в)

t