18. Производная сложной функции.
Таблица производных
Если
и
- дифференцируемые функции своих
аргументов, то производная сложной
функции
существует и равна произведению
производной данной функции y
по промежуточному аргументу u
на производную промежуточного аргумента
u
по независимой переменной х:
,
или
,
или
.
Это правило распространяется на
из любого
конечного числа дифференцируемых
функций.
Таблица производных основных элементарных функций.
Пусть
,
где
.
Тогда:
1)
( n
- любое число); 2)
;
3)
(a>0,
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
11)
,(
);
12)
,
(
);
13)
;
14)
15)
;
16)
;
17)
;
18)
.
Замечание. Гиперболические функции определены так:
1)
-
гиперболический синус
2)
-гиперболический
косинус
3)
-гиперболический
тангенс
4) -гиперболический котангенс
Для гиперболический функций имеют место формулы, аналогичные формулам для тригонометрических функций. Основные формулы:
;
;
;
,
;
и т.д.
Пример . Найти , если =sin3(x/4).
Решение. Это сложная функция промежуточным первым аргументом u= sin(x/4) и t=x/4 . Данную функцию можно представить в виде: y=u3 , где u=sin(t); t=x/4 .
Дифференцируя, получаем:
=
=
=
=
.
Уравнение касательной и нормали к плоской кривой
Пусть
-
уравнение плоской кривой,
-
точка, лежащая на этой кривой, так что
.
Уравнение
касательной
к данной кривой
,
проходящей через точку касания
кривой, имеет вид:
,
где
есть угловой коэффициент касательной
к данной кривой, проходящей через точку
.
Иначе говоря, где
,
- угол между касательной к кривой ,
проведенный через точку
,
и промежуточным направлением оси абсцисс
.
Нормалью
к кривой в
точке
называется перпендикуляр к касательной,
проведенный через точку касания.
Уравнение нормали к кривой
в точке
имеет вид:
.
Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=x3+2x в точке с абсциссой x0=1.
Решение.
Найдем производную данной функции и
ее значение при x0=1,
y
/=3x2+2,
y
/(x0)=y
/(1)=3+2=5.
Угловой коэффициент касательной
.
Вычислим значение функции при
x0=1:
.Следовательно,
- точка касания и уравнение касательной
будет y=3+5(x-1),
или 5x-y-2=0;
а уравнение нормали
y=3-(1/5)(x-1), или x+5y-16=0 , где угловой коэффициент нормали k2=-1/k1, так как условием перпендикулярности двух прямых y=k1x+b1 и y=k2 x+b2 является соотношение:k1 k 2 =-1 . Ответ: 5x-y-2=0, x+5y-16=0 .
19. Дифференциал функции. Применение дифференциала
Дифференциалом
(первого порядка) функции
называется главная часть ее приращения,
линейная относительно приращения
независимой переменной x.
Дифференциал функции равен произведению
ее производной
на
дифференциал независимой переменной
.
Отсюда
.
Если
приращение
аргумента мало по абсолютной величине,
то дифференциал
функции
и приращение
функции приближенно равны между собой
,
ибо по определению
или
,
где
при
.
Иными словами, разность между приращением
и
дифференциалом
функции
есть бесконечно малая высшего порядка.
Поэтому при
,
,
т.е. приращение
функции и ее дифференциал – эквивалентные
бесконечно малые. Следовательно,
,
откуда имеем
.
Последняя формула часто используется
в приближенных вычислениях, т.к. позволяет
по известному значению функции и ее
производной в точке x
найти приближенно значение функции в
точке
.
Например, вычислить приближенно arctg1,02, заменяя приращение функции дифференциалом.
Решение. Формула применительно к данной функции f(x)=arctg x перепишем в виде:
,
где
.
У
нас
;
x=1
;
.
Подставляя эти значения в формулу,
получим
Следовательно
Пример. Найти дифференциал dy.
y=
Решение. Имеем
Находим
Следовательно,
Ответ:
