8. Плоскость и прямая в пространстве
Плоскость в пространстве.
1) Уравнение плоскости – это уравнение первой степени вида: Ax+By+Cz+D = 0, если А2+В2+С2 0, которое называется общим уравнением.
Коэффициенты
А, В ,С
можно рассматривать, как координаты
вектора нормали
=(A,B,C),
перпендикулярного
плоскости.
2) Уравнение плоскости, проходящей через точку
M0(x0, y0 , z0) перпендикулярно вектору :
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,
(условие
,
где
=(x-x0 , y-y0 , z-z0) лежит в плоскости).
3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2 ,z2), M3(x3,y3,z3) имеет вид:
-условие
компланарности векторов
,
где
,
,
,
где
M(x,y,z)- текущая точка данной плоскости.
4) Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:
,
где а,b,с – отрезки, отсекаемые плоскостью, на координатных осях соответственно, - абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями ox, oy, и oz.
5)
Нормальное уравнение плоскости:
,
где
- вектор- нормаль к плоскости единичной
длины, проведены из начала координат,
p – расстояние от начала координат до плоскости (p>0).
Приведем общее уравнение плоскости к нормальному уравнению плоскости. Для этого умножим обе части общего уравнения плоскости на нормирующей множитель:
-
полученное уравнение и будет нормальным
уравнением плоскости. (Знак
берется
противоположным знаку D)
Расстояние от данной точки M0 (x0,y0,z0) до плоскости находится по формуле
где A,B,C-коэффициенты в общем уравнении плоскости,
Угол между двумя плоскостями вычисляется по формуле:
,
где
под углом между двумя плоскостями
понимается угол между их нормалями
и
.
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
A1
A2+B1
B2+C1C2=0
(если
).
Условие параллельности двух плоскостей:
(если
//
).
Прямая в пространстве
Канонические уравнения прямой имеют вид
,где
=(m,n,p)
– направляющий
вектор прямой, точка M(x0,0y.z0
) лежит
на прямой, т.е. прямая проходит через
точку M0
параллельно вектору
.
Уравнение прямой в параметрической форме:
Прямая может быть задана как линия пересечения двух плоскостей
Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2 ) имеет вид:
.
Угол между двумя прямыми вычисляются по формуле
,
где угол между двумя прямыми- угол между их направляющими векторами данных прямых.
Условие перпендикулярности двух прямых:
m1
m2+n1
n2+p1p2=0
(если
).
Условие параллельности двух прямых:
(если
//
).
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть
заданы прямая
и плоскость
:
: Ax+By+Cz+D = 0,
:
Угол между прямой и плоскостью определяются по
формуле
,
где -угол между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
(если
//
).
Условие параллельности двух прямых:
A m+Bn+Cp=0 (если ).
Напомним, что =(m,n,p ) – направляющий вектор прямой , =(A,B,C) – нормаль к плоскости.
Пример. Найти расстояние d от точки M0 до плоскости, проходящей через три точки M1,M2,M3.
Дано: M1(1;0;2);M2(1;2;-1);M3 (2;-2;1);M0 (-5;-9;1).
Требуется найти: d (см. рис.2)
Рис.2
Решение. Находим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1, M2, M3, по формуле
Разложив определитель по первой строке и, приводя подобные члены, имеем уравнение плоскости: 8x+3y+2z-12=0
Расстояние d от данной точки M0 (x0,y0,z0) до плоскости, определяемой уравнением Ax+By+Cz+D=0, находится по формуле
=
(ед.
длины). Ответ:
.
9. Кривые второго порядка на плоскости
1.Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Если R – радиус окружности, точки M0 (x0,y0) - ее центр, то каноническое уравнение окружности имеет вид: (x-x0)2+(y-y0)2=R2 .
2. Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, причем эта постоянная больше расстояния между фокусами (рис.3).
Пусть
– любая точка эллипса,
– фокусы. Тогда по определению имеем
,
Рис. 3
где
называются
фокальными
радиусами, и, следовательно,
.
Форма
эллипса (мера его сжатия) характеризуется
его эксцентриситетом
,
(так как с
< а,
то
< 1 для эллипса). Каноническое
уравнение эллипса
имеет вид
,
причем
.
Здесь a
– большая,
–
малая полуоси эллипса. В частности, если
а
=
(с
= 0,
= 0, фокусы сливаются в одной точке –
центре), то эллипс превращается в
окружность
.
Фокальные радиусы эллипса выражаются
через абсциссу точки эллипса по формулам:
и
.
3.Гипербола – это множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами. Пусть – любая точка гиперболы,
Рис. 4
– фокусы. Тогда по определению имеем
где
называются фокальными
радиусами,
причем для
правой ветви гиперболы,
– правый фокальный радиус;
– левый фокальный радиус, где число
называется эксцентриситетом
гиперболы. Каноническое уравнение
гиперболы имеет
вид
,
где а2
+
в2
=
с2.
Здесь а
– действительная полуось,
b
– мнимая
полуось гиперболы; из уравнения видно,
что гипербола не пересекает ось OY,
т.е.
.
Для
построения гиперболы строят прямоугольник
со сторонами 2а
и 2b,
с центром в начале координат. Проводят
диагонали в прямоугольнике, которые
являются асимптотами
.
Вершины гиперболы находятся в точках
.
Замечание. Если каноническое уравнение гиперболы имеет вид :
,
то вершины гиперболы находятся на оси
OY
в точках
.
Гиперболы
называются сопряженными
(у
них действительная ось одной гиперболы
служит мнимой осью другой, и наоборот;
они имеют общие асимптоты).
Если а= b, то уравнение принимает вид х2 – у2 = а2..
Такая
гипербола называется равнобочной.
Ее
асимптоты перпендикулярны друг к другу.
Поэтому, если за координатные оси принять
асимптоты равнобочной гиперболы, то ее
уравнение примет вид
(рис. 4 (а) и рис. 4 (б)), или
.
Рис. 4
4. Парабола – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой. Пусть прямая l: x=-p/2
является директрисой параболы, точка
F(p/2,0)
– фокус. Тогда каноническое уравнение
параболы имеет вид:
,
где
–
фокальный параметр.
Рис. 5
Эта
парабола расположена симметрично
относительно оси ОХ
(
),
– фокальный радиус параболы, который
определяется по формуле
,
так как
.
Уравнение
является уравнением параболы, симметричной
относительно оси ординат ОУ.
При р > 0 ветви параболы направлены в положительную сторону соответствующей координатной оси, а при р < 0 – в отрицательную сторону.