13. Предел функции
Определение.
Число А
называется пределом функции f(x)
при
( или в точке a
), если для любого наперед заданного
положительного числа
(хотя бы как угодно малого ) существует
положительное число
,
вообще говоря, зависящее от
, т.е.
,
такое, что при всех значениях
и удовлетворяющих условию
,
имеет место неравенство
.
Пишут
,
если для
,
такое,
что при
.
Аналогично
число А
называется пределом функции f(x)
при
, если для любого числа
существует число
M>0,
зависящее от
,
такое, что при
выполняется неравенство
. Пишут
.
Правила предельного перехода. Основные теоремы.
Если
функции f(x)
и
имеют
конечные пределы при
,
то
а)
б)
в)
,при
.
г)
,
где n
целое число, n>0
;
д)
,где с=const
, причем
.
е)
=
Предел дробно-рациональной функции.
Пример.
Вычислить
Решение.
Здесь
отыскивается предел отношения двух
многочленов дробно-рациональной функции.
Подстановка
в данную функцию неопределенности вида
.
Следовательно, прежде чем преобразовать,
а именно, числитель и знаменатель дроби
разделить на (x-3),
которые, согласно теореме Безу, делятся
без остатка нацело (т.к. обращаются в
ноль при x=3),
т.е. можно представить:
и
.
Имеем:
Полученные
после деления многочлены при
будут бесконечно малыми. Поэтому снова
каждый из них делим на бином (x-3)
или раскладываем на множители квадратные
трехчлены, найдя их корни. Ответ: 5/4
Таким
образом, чтобы раскрыть неопределенность
вида
заданную
отношением двух многочленов, надо в
числителе и знаменателе выделить
множитель, равный нулю при предельном
значении, и сократить на него. При
раскрытии неопределенности вида
надо
числитель и знаменатель разделить на
x
в старшей степени, а затем перейти к
пределу.
Предел иррационального выражения.
Пример.
Вычислить
Решение. Имеем также неопределенность . Чтобы ее раскрыть, умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.
Ответ: 0.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида , в выражении, в котором числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом попытаться избавиться от иррациональности.
14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
Пусть
и
-
бесконечно малые функции, при
,
т.е.
и
,
причем a может быть
как числом, так и одним из символов
,
-
.
Бесконечно
малые функции
и
называются бесконечно малыми одного
порядка, если предел их отношения
,
.
Если же число А=0, то бесконечно
малая
называется бесконечно малой более
высокого порядка малости по сравнению
с
.
Если
и
, то бесконечно малая функция
называется бесконечно малой порядка
p по сравнению с
бесконечно малой функцией
.
Бесконечно малые функции
и
называются эквивалентными, если
.
В этом случае пишут:
~
.
Теорема (о замене бесконечно малых функций им эквивалентными ). Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменяется, если каждую из них или какую-либо одну заменить им эквивалентными функциями.
Если при некотором предельном переходе функция есть бесконечно малая, то
Sin( )~ , tg( )~ ;
arcsin( )~ , arctg( )~ ;
ln(1+ )~ , ln(1+k )~k ,
~
,
~
ln
a