2.2.2. Определение усилий и моментов

Рассмотрим выделенную призму (рис. 2.2). Усилия и моменты на единицу длины сечения будут равны

Рис. 2.2. Напряжения, действующие в элементарной призме

где расстояния основной поверхности (плоскости) от торцевых поверхностей пластинки. С помощью соотношения (2.5) получим:

(2.7)

Симметричные матрицы

содержат элементы

(2.8)

Температурные и дополнительные усилия

(2.9)

Для моментов будем иметь

(2.10)

где матрица

содержит следующие элементы:

(2.11)

Температурный и дополнительный моменты:

(2.12)

2.2.3. Связь деформаций и напряжений с заданными усилиями и моментами

Пусть основная поверхность выбрана произвольным образом (удобно принять ее совпадающей со срединной поверхностью). Объединяя (2.7) и (2.10) с помощью блочных векторов и матриц, запишем

(2.13)

Далее находим

(2.14)

Получив деформации по формуле (2.14), определяем напряжения из (2.5).

2.2.4. Условия равновесия элемента пластинки

Считая малым отклонение срединной поверхности от плоскости, т.е. выведем условия равновесия (рис.3):

Рис. 2.3. Усилия и моменты, приложенные к элементу пластинки

получим следующие условия равновесия [1,7]:

(2.15)

где

- распределенные усилия на единицу площади срединной поверхности; - распределенные вдоль окружности радиусаосевые и радиальные силы;- дельта-функция. Усилиенаправлено как внешнее давление. Уравнения (2.15) справедливы и для пластики с начальными отклонениями. В большинстве практических задач можно пренебречь третьим членов в первом уравнении из (2.15).

2.3. Уравнение осесимметричного изгиба пластинки переменной толщины

2.3.1. В общем случае

Составим уравнение равновесия недеформированного состояния (т.е. в формуле (2.15) положим ):

(2.16)

Для упрощения предположим, что коэффициент Пуассона не меняется по толщине пластинки (вдоль радиуса он может быть переменным) Основная поверхность (плоскость) выбирается из условия

Тогда матрицы ипримут вид

При рассмотрении только изгиба () уравнение (2.10) приведется к следующим простым соотношениям

(2.17)

(2.18)

где

Из соотношений (2.17) и (2.18) получаем

(2.19)

(2.20)

Уравнение равновесия для моментов из (2.16) представим в виде

(2.21)

Внося значение из (2.20) в (2.19) и (2.21), получаем дифференциальное уравнение изгиба пластинки

(2.22)

Составим систему уравнений. Определим прогиб как

(2.23)

Положительное направление прогиба вдоль оси Z.

Соберем уравнения (2.23), (2.22) и выражение для из (2.16) и запишем получившуюся систему в матричном виде:

Коротко эта система представима в операторном виде

(2.24)

2.3.2. При постоянных по толщине параметрах упругости

Пусть параметры упругости ипостоянны по толщине пластины (они могут быть переменными вдоль радиуса), тогда целесообразно выбрать [7]

где - толщина пластинки. Тогда матрицы упруго-геометрических характеристик могут быть значительно упрощены

Цилиндрические жесткости на растяжение и изгиб:

(2.25)

Температурный и дополнительный моменты:

(2.26)