7Применение степенных рядов

Приближенные вычисления

Если для некоторой функции f(x) (элементарной функции, или неберущегося интеграла, или частного решения дифференциального уравнения) известно разложение в степенной ряд с центром xo 6= x, причем точка x попадает в интервал сходимости

(желательно ближе к центру), то значение f(x) можно приближать частичными суммами этого степенного ряда.

√

Пример 7.1. Вычислить 3 2 с погрешностью < 0,0001. Выпишем ряд Тейлора для функции x1/3 с центром 1, применив разложение (12) при a = 1/3 :

Это разложение верно при 64125y < 1. Ó íàñ x = 2 = y = 3/64 расположен ближе к центру, чем к концу интервала сходимости, поэтому ряд сойдется быстро:

Пример 7.2. Вычислить ln 2 с погрешностью < 0,0001. Подставив x = 1 в ряд Маклорена (11), мы получим сходящийся ряд Лейбница

Но чтобы получить погрешность |rN | ≤ |aN+1| < 0,0001, нам придется взять N = 10000 : точка на конце интервала сходимости! Чтобы взять точку ближе к центру, воспользуемся тем, что ln 2 = − ln(1/2) :

24

Это знакоположительный ряд. Оценим остаток через сумму геометрической прогрессии:

n=1

Решение линейных дифференциальных уравнений

Пусть дана задача Коши

Pk · y(k) + Pk−1 · y(k−1) + . . . + P1 · y0 + P0 · y = f(x) y(xo) = yo, y0(xo) = y1, . . . , y(k−1)(xo) = yk−1,

ãäå P0(x), P1(x), . . ., Pk(x) многочлены; функция f(x) аналитична в окрестности xo. Будем искать решение y(x) в виде степенного ряда

∞

X

y(x) = cn(x − xo)n.

n=0

Первые k коэффициентов находим из начальных условий: cn = ynn! ïðè 0 ≤ n ≤ k −1.

n=0

Получаем равенство сумм двух степенных рядов на некоторой окрестности точки xo. Из этого следуют равенства коэффициентов при одинаковых степенях (x − xo).

Пример 7.3. Разложить в ряд Маклорена решение задачи Коши

[чтобы привести подобные слагаемые, приведем номера слагаемых в соответствие со степенями x : в первой сумме положим m = n − 1, в двух последних m = n + 1]

25

∞

X

= c1 + 2c2x + (m + 1)(cm+1 + cm−1)xm.

m=2

В правой части имеем

Сопоставив коэффициенты при x0, x1, x2, . . ., получаем бесконечную систему уравнений:

Решение нелинейных дифференциальных уравнений

Для произвольных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старшей производной y(k)(x), решение задачи Коши y(x) ищут так: по заданным

значениям y(xo),. . . y(k−1)(xo) находят y(k)(xo), затем, продифференцировав уравнение, находят y(k+1)(xo), и т. д. В результате представляют решение через ряд Тейлора:

формулу для коэффициентов cn и определить интервал сходимости полученного ряда.

Пример 7.4. Решить уравнение колебаний маятника y00 = − sin y с начальными

условиями y(0) = π/2, y0(0) = 0, выписав слагаемые до шестой степени x. Вычисляем производные:

26

8Евклидовы пространства и ряды Фурье

Определение 8.1. Линейное пространство E называется евклидовым, если на

нем определено скалярное произведение, т.е. функция (·, ·) : E×E 7→R, обладающая такими свойствами:

1.Коммутативность: x, y E выполнено (x, y) = (y, x);

2.Билинейность: x, y, z E, a, b R имеем (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z);

3.Положительная определенность: x E имеем (x, x) ≥ 0,

причем (x, x) = 0 только при x = 0.

Норма в евклидовом пространстве задается формулой

p

kxk = (x, x). (13)

Лемма 8.1. Для любых векторов x, y E верно неравенство |(x, y)| ≤ kxk · kyk, причем равенство достигается в точности тогда, когда x è y линейно зависимы (коллинеарны).

Доказательство. Рассмотрим вектора вида x + ty, t R. При всяком t выполнено (x + ty, x + ty) = kx + tyk2 ≥ 0. B силу билинейности,

(x + ty, x + ty) = t2kyk2 + 2t(x, y) + kxk2.

Это квадратный трехчлен от t, он не принимает отрицательных значений = его дискриминант неположителен:

D = 4(x, y)2 − 4kyk2kxk2 ≤ 0 = |(x, y)| ≤ kxk · kyk;

неравенство будет строгим в том и только том случае, когда x è y не коллинеарны, поскольку в этом случае вектор x + ty не может быть нулевым.

(kxk + kyk)2 − kx + yk2 = (kxk2 + kyk2 + 2kxk · kyk) − (kxk2 + kyk2 + 2(x, y)) =

= 2(kxk · kyk − (x, y)) ≥ 0.

½Теорема Пифагора . Если (x, y) = 0, òî kx + yk2 = kxk2 + kyk2. Примеры евклидовых пространств

27

2. Пространство C[0; 1] непрерывных функций на отрезке [0; 1] co скалярным произ-

угодно много

линейно независимых векторов: например, при всяком N набор функций 1, t, t2, . . . , tN линейно независим.

3. Опишем то пространство функций, с которым нам предстоит работать.

Определение 8.2. Пространство Eo[−π; π] состоит из функций f на отрезке [−π; π], имеющих лишь конечное множество точек разрыва, и только I рода, причем

f(−π) = f(π) = f(π − 0) + f(−π + 0), 2

а в каждой точке разрыва a (−π; π) выполнено

f(a) = f(a − 0) + f(a + 0). 2

Скалярное произведение в Eo[−π; π] задается формулой

Проверим положительную определенность этого скалярного произведения. Пусть f 6= 0, ò.å. to [−π; π] : f(to) 6= 0. Åñëè f непрерывна в to, то доказательство такое

же, как в предыдущем примере. Если to точка разрыва I рода или to = ±π, òî

Определение 8.3. Конечное или бесконечное множество векторов e0, e1, e2, . . . называется ортонормированной системой (OHC), åñëè

keik = 1 i; (ei, ej) = 0 j 6= i.

Определение 8.4. Пусть e0, e1, e2, . . . ОНС в бесконечномерном евклидовом пространстве E, состоящем из функций; пусть f E. Коэффициентами Фурье функции

28

i=0

Аналогично определяются частичные суммы ряда Фурье.

В пространстве Eo[−π; π] мы будем рассматривать тригонометрическую ОНС

и аналогично (e2k−1, e2l−1) = 0.

Коэффициенты Фурье для функции f Eo[−π; π] вычисляются по формулам:

∞

= a20 + X(ak cos kx + bk sin kx ),

k=1

где коэффициенты ak, bk (это не коэффициенты Фурье!) вычисляются так:

29

Определение 8.5. Пусть L линейное подпространство евклидова пространства E. Ортогональной проекцией вектора y E íà L называется такой вектор z L, ÷òî

y − z L, ò.å. x L (x, y − z) = 0.

Обозначение: z = PL y.

Лемма 8.2. Пусть L линейное подпространство евклидова пространства E.

Тогда вектор z = PL y это единственный вектор, на котором достигается мини-

ìóì min kx − yk.

x L

Доказательство. Пусть z = PL y, и пусть x L, x 6= z. Тогда

(x − z, z − y) = 0 = kx − yk2 = kx − zk2 + kz − yk2 > kz − yk2.

В случае конечномерного L существование ортогональной проекции и формулу для е нахождения дает следующая теорема.

ОНС в евклидовом пространстве E, и подпространство L E линейная оболочка e0, . . . , en (обозначение: L = span {eo, . . . , en}). Тогда для всякого вектора y E ортогональная проекция на L равна

n

n

X

kyk2 = kPL yk2 + ky − PL yk2 = (y, ei)2 + ky − PL yk2,

i=0

следовательно, расстояние от вектора y äî L = span {eo, . . . , en} (линейной оболочки конечной ОНС) вычисляется по формуле

30

9Среднеквадратичная сходимость рядов Фурье

Говорят, что функции yn E сходятся к y в среднеквадратичном, если они сходятся по норме: kyn − yk → 0 ïðè n → ∞.

Всюду далее будем использовать обозначение Ln = span {eo, . . . , en}.

Теорема 9.1. (Неравенство Бесселя). Пусть {ei}∞i=0 OHC в евклидовом прос- транстве E; пусть вектор y E. Тогда

n

X

dist2(y, Ln) = kyk2 − (y, ei)2 ≥ 0,

i=0

cледовательно, Qn ≤ kyk2, откуда следует, что lim Qn ≤ kyk2.

n→∞

Определение 9.1. ОНС {ei}∞i=0 в евклидовом пространстве E если для вектора y E

èç i = 0, 1, 2, . . . (y, ei) = 0 следует y = 0,

т.е. вектор однозначно определяется своими коэффициентами Фурье.

Определение 9.2. ОНС {ei}∞i=0 в евклидовом E называется замкнутой, если для всякого вектора y E

dist(y, Ln) → 0 ïðè n → ∞,

т.е. вектор y можно приблизить конечными линейными комбинациями векторов из ОНС с любой точностью по норме.

Теорема 9.2. Если ОНС {ei}∞i=0 в евклидовом пространстве E замкнута, то она полна.

Доказательство. Пусть y E вектор, для которого i = 0, 1, 2, . . . (y, ei) = 0. При каждом n N его норму оценим так:

Если ОНС замкнута, то для всякого y E ряд Фурье среднеквадратично сходится к самому y:

31

Теорема 9.3. (Равенство Парсеваля).Пусть {ei}∞i=0 замкнутая OHC в евкли- довом пространстве E; пусть вектор y E. Тогда

Доказательство. Ряд в правой части сходится, поскольку частичные суммы возрастают и не превышают kyk2. Ïðè ýòîì

Теорема 9.4. В евклидовом пространстве Eo[−π; π] ОНС (14) является замкнутой.

Доказательство. При доказательстве нам понадобится

Теорема Вейерштрасса5. Если функция f(t) 2π-периодична и непрерывна, то для

ε > 0 существует тригонометрический многочлен, т.е. функция вида

такой, что |P (t) − f(t)| < ε t R. Другими словами: непрерывную 2π-периоди-

чную функцию можно с любой точностью равномерно приблизить тригонометри- ческим многочленом.

Пусть теперь f Eo[−π; π]. Положим M = sup |f|. Пусть −π = a0 < a1 <

. . . < an−1 < an = π, ãäå a1, . . . , an−1 точки разрыва f. Выберем δ > 0, чтобы

kg − fk2 ≤ 2nδ(sup |g − f|)2 ≤ 2nδ(2M)2 = 8nM2δ.

Если нам задан ε > 0, мы возьмем δ = ε2/32nM2, и тогда kg − fk ≤ ε/2.

kP − fk ≤ kP − gk + kg − fk < ε. Поскольку ε > 0 произвольно, замкнутость ОНС (14) доказана.

5Доказательство оставим на последнюю лекцию

32

Функция f нечетна. При четных n функции en являются четными, поэтому (f, en) = 0. При нечетных n = 2k − 1 имеем

В каждой точке x ряд сходится к f(x) по признаку Дини или Дирихле (см. следую-

щую лекцию). При 0 6= x 6= ±π сходимость условная. И, конечно же, ряд сходится неравномерно: иначе его сумма была бы непрерывной.

Выпишем равенство Парсеваля для f :

33

Заметим, что поточечная сходимость ряда Фурье для функции f(t) äàåò ïðè t = π/2

Нас будет интересовать не только среднеквадратичная сходимость частичных

Тогда fn(x) → 0 x [−π; π], однако kfn − 0k = kfnk = 1 9 0.

(H) ; (T) : приведем другой контрпример. Пусть

1 åñëè k Z : ln n < x − 2πk < ln(n + 1)

f(x) ≡ 0; fn(x) = 0 åñëè @k Z : ln n ≤ x − 2πk ≤ ln(n + 1)

в точках разрыва.

Тогда fn(x) 6=√0 на одном двух промежутках суммарной длины ln n+1n < 1/n = kfn − 0k < 1/ n → 0. Однако, ни при каком x [−π; π] не будет fn(x) → 0, ïîñ-

кольку при всяком x значение fn(x) = 1 будет встречаться при бесконечно многих n. И тем более (H) ; (P).

34

10Поточечная сходимость рядов Фурье и свойства коэффициентов

В предыдущей лекции было доказано, что частичные суммы ряда Фурье функции

f(x) сходятся к ней в среднеквадратичном: kSn − fk −→ 0. Но будет ли поточечная сходимость? И если да, то будет ли она равномерной?n→∞

Признаки поточечной сходимости

Признак Дини является локальным: его выполнение в точке x не зависит от поведения функции f вне сколь угодно малой окрестности x.

Частный случай6. Пусть функция f Eo[−π; π] в некоторой точке x имеет конечные правую и левую производные, причем если x точка разрыва I рода, то они определяются так:

Тогда Sn(x) → f(x) ïðè n → ∞.

Признак Дирихле.Пусть f Eo[−π; π] кусочно монотонна, т.е. существуют точки −π = a0 < a1 < a2 < . . . < an = π, такие, что f монотонна на каждом интервале (ai−1; ai). Тогда для каждого x [−π; π] имеем Sn(x) → f(x) ïðè n → ∞.

Признаки Дини и Дирихле самые часто применяемые признаки поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье. Оба они являются достаточными, но не являются необходимыми, как показывают следующие два примера.

1

Пример 10.1. Функция f(x) = 2 − ln |x| удовлетворяет признаку Дирихле, но не удовлетворяет признаку Дини в точке 0.

Функция g(x) = x2 cos(1/x) во всех точках дифференцируема = удовлетворяет признаку Дини, но не удовлетворяет признаку Дирихле.

Зависимость коэффициентов Фурье от свойств функции

Пусть функция f(x) разложена в ряд Фурье, поточечно сходящийся к ней:

∞

f(x) = a20 + X ak cos kx + bk sin kx ,

k=1

6Будет доказан на последней лекции

35

ãäå

Четность и нечетность. Неполные ряды Фурье

Если же функция f Eo[−π; π] нечетна, то ak = 0 k N {0}, и получится ряд Фурье из синусов. Если функция задана только на полупериоде, мы можем считать е четной или нечетной, соответственно разложить по косинусам или по синусам:

Теорема 10.1. Пусть функция f(x) на отрезке [0; π] имеет конечное множество точек разрыва и только I рода, и пусть в каждой точке разрыва a (0; π) выполнено

f(a) = f(a − 0) + f(a + 0). 2

Пусть f кусочно-монотонна.

a) Åñëè f непрерывна в 0 è π, то она раскладывается в ряд из косинусов

36

Доказательство. В случае а) продолжим функцию f на отрезок [−π; π], сделав е четной: f(−x) = f(x) x (0; π]. В случае б) продолжим f на отрезок [−π; π], сделав е нечетной: f(−x) = −f(x) x (0; π]. В обоих случаях мы получим функцию f Eo[−π; π], удовлетворяющую условиям признака Дирихле поточечной сходимости. Для четной функции получим bk = 0, а интегралы для вычисления ak сведутся к интегралам от 0 до π. Для нечетной функции наоборот.

Пример 10.2. Пусть на (0; π) дана функция f(t) = t2 − 5. Если разложить е по косинусам (доопределив в точках 0 и π по непрерывности), то получится ряд, сумму которого мы обозначим C(t). Если же разложить f(t) по синусам (доопределив f(0) =

f(π) = 0), то получится ряд, сумму которого мы обозначим S(t). Графики этих функций выглядят так:

Порядок малости коэффициентов

Определение 10.1. Функция f(x) с периодом 2π называется m раз кусочно-непре- рывно дифференцируемой, если

1)она имеет непрерывную (m − 1)-ю производную;

2)существуют точки −π = a0 < a1 < . . . < an = π, такие, что f(m−1) непрерывно

дифференцируема на интервалах (ai−1; ai), i = 1, 2, . . . , n;

3)существуют односторонние производные (f(m−1))0(ai ± 0).

Заметим, что по теореме Лагранжа (x˜ между ai è x) существует

Лемма 10.1. Пусть функция f Eo[−π; π] кусочно-непрерывно дифференцируема на [−π; π]. Тогда ряд Фурье для f сходится равномерно, а коэффициенты тригонометрического ряда αk, βk äëÿ f0 связаны с коэффициентами ak, bk для самой f такими соотношениями:

α0 = 0; αk = k · bk; βk = −k · ak.

Доказательство. Именно такие соотношения должны получиться при почленном дифференцировании ряда. Но применить теорему 4.3 мы не можем: ряд Фурье для

37

f0 может сходиться неравномерно. Вычислим αk è βk непосредственно:

α0 = π1 (f(π) − f(−π)) = 0 по формуле Ньютона Лейбница;

аналогично получаем βk = −k · ak. Равномерную сходимость ряда Фурье для f докажем по критерию Вейерштрасса, построив сходящуюся мажоранту