11 Кратные интегралы

Прежде чем дать определение n-кратного интеграла, т.е. интеграла по подмножест- ву пространства Rn, нам нужно обобщить понятия квадрируемости и кубируемости, определив n-мерные объемы. Для n-мерного кирпича, т.е. прямоугольного парал-

лелепипеда Π = [a1; b1] × . . . × [an; bn], объем равен V (Π) = (b1 − a1) · · · (bn − an). Нетрудно проверить, что если один кирпич составлен из нескольких (они могут иметь общие точки на гранях, но не должны иметь общих внутренних точек), то их объемы складываются (аддитивность). Из этого следует, что если множество можно составить из конечного числа кирпичей разными способами, то его объем = сумма объемов этих кирпичей получится одинаковым. Такие множества назовем кирпичными.

Определение 11.1. Пусть множество B Rn. Его внутренний и внешний n- мерный объем определяются так (здесь K, M кирпичные множества) :

V (B) = sup{V (K) : K B}; V (B) = inf{V (M) : M B}.

Åñëè V (B) = V (B), то говорят, что B измеримо (по Жордану), и определен

множества, A ∩ B = . Задав ε > 0, найдем такие кирпичные A , A , B , B

С учетом того, что A ∩ B = , мы получаем:

V (A B) ≥ V (A B ) = V (A ) + V (B ) > V (A) + V (B) − 2ε,

V (A B) ≤ V (A B ) ≤ V (A ) + V (B ) < V (A) + V (B) + 2ε,

и поскольку ε можно взять сколь угодно малым, отсюда следует

V (A B) = V (A B) = V (A) + V (B) = V (A B) = V (A) + V (B).

40

Определение 11.2. Пусть B Rn измеримое множество. Разбиением B íàçû-

m

вается конечный набор измеримых множеств {Bi}mi=1, таких, что S Bi = B, è

i=1

разные множества Bi не имеют общих внутренних точек. Диаметром разбиения называется величина

Определение 11.3. Пусть {Bi}mi=1 разбиение множества B Rn, и пусть

Определение 11.4. Пусть B Rn измеримое множество. Говорят, что функция f : B 7→R интегрируема (по Риману) на множестве B, если существует число I R, такое, что

Это число I называется n-кратным интегралом от функции f по множеству B и обозначается

ZZ

I = · · · f(x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn.

B

Пример 11.1. Рассмотрим куб Q = [0; 1]Ч[0; 1]Ч[0; 1] и функцию f(x, y) = x+y+2z. Возьмем разбиение {Qi}5i=1, ãäå Q1 ïðèçма (внизу), Q2, . . . , Q5 кубы со стороной

p

1/2. diam{Qi} = diam Q1 = 12 + 12 + 0,52 = 1,5.

41

Следующие два утверждения доказываются так же, как в одномерном случае.

Лемма 11.1. Если разбиение {Cj}Mj=1 измельчение разбиения {Bi}mi=1, òî

S{Cj}(f) ≤ S{Bi}(f), S{Cj}(f) ≥ S{Bi}(f).

Следствие 11.1. Если {Bi} è {Ck} два разбиения множества B Rn, òî

S{Bi}(f) ≤ S{Ck}(f).

Определение 11.6. Пусть функция f ограничена на B Rn. Верхним и нижним интегралами Дарбу f ïî B называются величины

где инфимум и супремум берутся по всем возможным разбиениям B.

Из сдедствия 11.1 получаем неравенство I (f) ≥ I (f).

BB

Теорема 11.1. (Критерий Дарбу). Пусть функция f ограничена на измеримом множестве B Rn. Тогда f интегрируема по Риману на B в том и только том

ZZ

B

Свойства кратных интегралов

0. Константа интегрируема, и R R

···c dx1 . . . dxn = c · V (B).

B

1. Линейность. Если f(x1, . . . , xn) è g(x1, . . . , xn) интегрируемы на множестве B Rn; c, k R, то функция cf + kg интегрируема, причем

Z Z Z Z Z Z

· · · cf + kg dx1 . . . dxn = c · · · f dx1 . . . dxn + k · · · g dx1 . . . dxn.

B B B

Доказательство. Для любого разбиения {Bi} и любых выбранных точек Xi Bi

2. Сужение. Если f(x1, . . . , xn) интегрируемa на множестве B Rn, è åñëè C Bизмеримое множество, то f интегрируема на C.

Доказательство. ε > 0 δ > 0 : åñëè diam{Bi} < δ, òî S{Bi}(f) − S{Bi}(f) < ε. Выберем разбиение {Bi}mi=1 с диаметром < δ, такое, что B1 . . . Bk = C, Bk+1 . . .

Дарбу f интегрируема на C.

42

3. Аддитивность. Если f(x1, . . . , xn) интегрируемa на измеримых множествах B, D Rn, не имеющих общих внутренних точек, то она интегрируема и на множестве

B D, причем

Z Z Z Z Z Z

· · · f dx1 . . . dxn = · · · f dx1 . . . dxn + · · · f dx1 . . . dxn.

B D B D

(и тогда по критерию Дарбу все будет доказано). Для этого выберем разбиение {Bi}mi=1 множества B и разбиение {Bi}Mi=m+1 множества D, такие, что

Из свойств аддитивности и сужения вытекает

Следствие 11.2. (лемма о ½добавлении пустоты ). Пусть C K измеримые множества в Rn, и пусть f : C 7→R. Определим функцию

Тогда интегрируемость f ïî C равносильна интегрируемости f1 ïî K, и если они интегрируемы, то их интегралы совпадают.

4. Монотонность. Пусть f è g интегрируемы на множестве B Rn; g ≥ f íà B.

Тогда Z Z Z Z

· · · g dx1 . . . dxn ≥ · · · f dx1 . . . dxn. (17)

B B

Это следует из того, что для любого разбиения и любых выбранных точек выполнено неравенство S{Xi}(g) ≥ S{Xi}(f).

{Bi} {Bi}

5. Оценка по модулю. Если f интегрируемa на множестве B Rn, òî |f| также

43

6. Теорема о среднем. Если f(x1, . . . , xn) интегрируемa на B Rn, то существует число µ [inf f; sup f], называемое средним значением f на множестве B, такое, что

BB

ZZ

· · · f dx1 . . . dxn = µ · V (B).

B

Åñëè ïðè ýòîì f непрерывна и B связно, то найдется точка X B : µ = f(X).

Доказательство. Применим свойство (17) к неравенствам inf f ≤ f ≤ sup f. Результат

B B

разделим на объем множества B. На связном же множестве функция принимает все промежуточные значения.

Теорема 11.2. А) Если функция f(x1, . . . , xn) интегрируема на множестве B Rn, то она ограничена на нем.

Б) Если функция f(x1, . . . , xn) ограничена и непрерывна на B, то она интегрируема на нем.

Доказательство. А) Предположим, что функция f интегрируема на B, но не ограни- чена на нем. Для ε = 1 найдем такое δ > 0, что интегральные суммы по разбиениям с diam < δ отличаются от интеграла менее, чем на 1. Возьмем одно такое разбиение {Bi}. Функция f неограничена хотя бы на одном Bk. Если зафиксировать точки

Xi Bi ïðè âñåõ i 6= k, а точку Xk Bk варьировать, то мы получим неограниченное множество значений интегральных сумм противоречие.

Б) Пусть сначала B компакт. Поскольку функция f непрерывна на B, она равномерно непрерывна на нем, т.е.

S{Bi}(f)− S{Bi}(f) < ε · V (B). По критерию Дарбу f интегрируема на B.

Теперь рассмотрим произвольное измеримое B. Существует кирпичный компакт

В силу призвольности ε, критерий Дарбу дает нужный результат.

44

12 Способы вычисления кратных интегралов

Теорема 12.1. (o cведeнии кратного интеграла к повторному). Пусть f ограниченная непрерывная функция на измеримом множестве B Rn. Пусть

Bz = {(x1, . . . , xn−1) Rn−1 : (x1, . . . , xn−1, z) B},

Доказательство. Непрерывность f как таковая нам не нужна. Нам важно только то, что f интегрируема по B и по каждому Bz. Нужно доказать, что функция I(z) интегрируема по отрезку и е интеграл совпадает с J.

Сначала предположим, что B = [−R; R]n n-мерный куб. Тогда Bz = [−R; R]n−1одинаковые (n − 1)-мерные кубы. Возьмем ε > 0 и найдем такую δ > 0, ÷òî äëÿ

разбиений B с диаметром< δ интегральные суммы заключены между J − ε è J + ε.

√

Пусть N N таково, что 2R n/N < δ. Именно таким будет диаметр разбиения B íà Nn равных кубиков

Оценим суммы Дарбу функции I(z) по разбиению [−R; R] точками a0, a1, . . . , aN :

45

[оценим I(z) через верхнюю сумму Дарбу по разбиению Bz]

где функции u è v непрерывны на [h; H] è u(x) ≤ v(x). Тогда Dx = [u(x); v(x)], и формула 18 примет вид

где фигура D имеет вид (19), функции ϕ è ψ непрерывны на D è ϕ ≤ ψ. Тогда

сечение Bx = {(y, z) : u(x) ≤ y ≤ v(x), ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)}. Получаем:

Если двумерное множество имеет более сложный вид, чем (19), или трехмерное тело сложнее, чем (20), то его нужно разбить на несколько частей вида (19) (соотв. (20)) и воспользоваться аддитивностью кратного интеграла.

46

Пример 12.1. Пусть f(x, y) = x2y2, D = {1 < x2 + y2 < 4, x > 0, y > 0} четверть

плоского кольца. Чтобы свести двойной интеграл к повторному, нужно разбить D

Вычислять интеграл пришлось бы так:

рывны на U. Тогда множество W = Y (U) (образ U под действием Y ) измеримо, и для любой функции f, ограниченной и непрерывной на W , верна формула замены

Следствие 12.1. Пусть выполнены условия теоремы 12.2. Подставаив функцию f ≡ 1, мы получим, что n-мерный объeм множества W = Y (U) равен

ZZ

V (W ) = · · · det JY (u1, . . . , un) du1 . . . dun.

U

47

Эта формула проясняет геометрический смысл якобиана (определителя матрицы Якоби): коэффициент увеличения объема при отображении Y .

В двумерном случае самая часто употребляемая замена переменных полярные координаты (обозначим y1 = x, y2 = y; u1 = ρ, u2 = ϕ):

Вычислим якобиан:

4. По формуле (21) получаем

якобиан равен

долгота, u3 = ψ широта.

якобиан равен

48

однозначно определить долготу, но это неважно: его объем равен 0).

49

13 Приложения двойных и тройных интегралов

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Двойной интеграл от 1 по плоской фигуре даст площадь фигуры. Если свести двойной интеграл к повторному, то получатся формулы площадей в декартовых и полярных координатах, изученные в прошлом семестре.

Двойные интегралы применяются также для вычисления площадей поверхностей, об этом речь пойдет на лекции 15.

Объем трехмерного тела вычисляется через тройной интеграл от 1, и здесь уже наши возможности расширятся.

1. Пусть тело задано в декартовых координатах:

B = {(x; y; z) : (x; y) D, g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y)} ,

ãäå D R2 квадрируемый компакт (проекция B); функции g è h непрерывны на D, h ≥ g íà D. Тогда тело B кубируемо, и его объем равен

ZZ

V (B) = h(x, y) − g(x, y) dxdy.

D

2. Пусть тело задано в цилиндрических координатах:

C = {α ≤ ϕ ≤ β; r(ϕ) ≤ ρ ≤ R(ϕ); u(ρ, ϕ) ≤ h ≤ v(ρ, ϕ)} ,

αr(ϕ)

3.Пусть тело задано в сферических координатах:

Ω= {α ≤ ϕ ≤ β; s(ϕ) ≤ ψ ≤ n(ϕ); r ≤ R(ϕ, ψ)} ,

ãäå 0 < β − α ≤ 2π; −π/2 ≤ s ≤ n ≤ π/2, функции s è n непрерывны на [α; β]; ôóí-

кция R ≥ 0 непрерывнa на {α ≤ ϕ ≤ β; s(ϕ) ≤ ψ ≤ n(ϕ)} . Тогда тело Ω кубируемо, и его объем равен

50

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Кратный интеграл 7позволяет вычислить полное значение аддитивной скалярной физической величины , если известна плотность е распределения (поверхностная или объемная), и эта плотность зависит более чем от одной координаты.

Åñëè Π плоская пластина, и величина M имеет поверхностную плотность распределения σ(x, y), то полное значение M и среднее значение σ вычисляются так:

Если B трехмерное тело, и величина M имеет пространственную плотность распределения γ(x, y, z), то полное значение M и среднее значение γ вычисляются

Пример 13.1. Найти среднюю плотность γ шара, если плотность линейно изменяется от центра к поверхности от величины γo äî γ1.

Пусть R радиус шара, O(0; 0; 0) его центр. Тогда

7Такими величинами являются: масса; заряд; энергия (потенциальная, кинетическая, тепловая); статический момент; момент инерции; одна из компонент силы, действующей на тело (давление, притяжение) или вызываемой этим телом; момент такой силы.

51

Моменты и центр масс

Если известна плотность распределения массы % (поверхностная или объемная),

то статические моменты и моменты инерции имеют соответствующие плотности распределения:

Моменты вычисляются через интегралы по формулам (22) или (23). Центр масс имеет координаты xc = Mx/M, yc = My/M, zc = Mz/M.

Пример 13.2. Найти центр масс квадратной пластины [0; 1]×[0; 1] с плотностью

σ(x, y) = ex+y. Масса пластины равна

Статический момент по x :