14 Криволинейные интегралы

Определение 14.1. Кривая в пространстве R3 множество вида

ãäå x(t), y(t), z(t) непрерывные функции на [α; β].

Кривая называется гладкой, если существуют непрерывные x˙ = x0(t), y˙ = y0(t), z˙ = z0(t), не обращающиеся в 0 одновременно (ïðè t = α имеются в виду правые производные, при t = β левые).

Кривая называется кусочно-гладкой, если существуют такие tj :

α=t0<t1<. . . <tN =β, что составляющие е кривые {X(t) : t [tj−1; tj]} гладкие.

Определение 14.2. Длина кривой L(`) = супремум длин вписанных в не ломаных

X0X1 . . . Xn, Xi = X(ti), ò.å.

L(`) = sup |Xi−1Xi| : α = t0 < t1 < . . . < tn = β, n N .

k=1

Как известно, длина кусочно-гладкой кривой (24) равна

β

Z

p

L(`) = x˙ 2 + y˙2 + z˙2 dt.

α

Будем называть разбиением кривой (24) набор точек

{Pi = (x(ti), y(ti), z(ti)) : α = t0 < t1 < . . . < tm = β};

обозначим кусочки кривой `i = {(x(t), y(t), z(t)) : t [ti−1; ti]}. Диаметр разбиения

m

равен diam{Pi} = max L(`i).

i=1

Определение 14.3. Функция f(x, y, z) интегрируема по кривой ` вида (24), если ` D(f) и существует число J R : ε > 0 δ > 0 : если diam{Pi} < δ, то при любом выборе точек Xi `i имеем

m

S{Xi}(f) = XL(`i)f(Xi) (J − ε; J + ε).

{Pi}

i=1

Такое число J называется криволинейным интегралом I рода функции f по кривой ` и обозначается

Z

J = f(x, y, z)ds.

`

Здесь ds единый символ. Однако, s имеет и самостоятельный смысл. Параметр s, заданный на кривой ` = {X(s) = (x(s); y(s); z(s)) : s [α; β]}, называется натуральным, если t1, t2 [α; β], t1 < t2, выполнено равенство

L{X(s) : t1 ≤ s ≤ t2} = t2 − t1.

54

Теорема 14.1. Пусть ` кусочно-гладкая кривая вида (24), ` D(f) R3; f(x, y, z)

непрерывная скалярная функция. Тогда f интегрируема по `, и е криволинейный интеграл I рода равен

β

ZZ

p

f(x, y, z)ds = f(x(t), y(t), z(t)) x˙ 2 + y˙2 + z˙2 dt. (25)

` α

Доказательство. Интеграл в правой части (25) существует, поскольку функция кусоч- но непрерывна. Сделаем в интеграле замену переменной, введя натуральный пара-

Z t

p

ìåòð s = L({X(τ) : α ≤ τ ≤ t}) = x˙ 2 + y˙2 + z˙2 du. Тогда интеграл примет вид

α

Z L(`)

f x(s(t)), y(s(t)), z(s(t)) ds. (26)

0

Для (26) все интегральные суммы и диаметры разбиений будут такими же, как для левой части (25).

Свойства криволинейного интегралa I рода

`

4. Независимость от ориентации кривой: если

` = {X(t) : t [α; β]} = {Y (t) : t [a; b]}, причем X(α) = Y (b), X(β) = Y (a),

то значения интеграла получатся одинаковыми.

Пример 14.1. Проинтегрируем функцию по четверти окружности

55

Очевидно, если s è u два натуральных параметра на `, òî ëèáî u = s+const, ëèáî

u = const − s. В первом случае говорят, что s è u задают одинаковую ориентацию,

во втором случае противоположные ориентации. Если на кусочно-гладкой кривой задана ориентация, то в каждой е точке (кроме нескольких точек излома) задан единичный касательный вектор ~τ(X(s)) = dsd X(s). При cмене ориентации кривой все

вектора ~τ(X) умножаются на (−1). Если на кривой задан параметр t, возрастающий в том же направлении, что и s, то вектор ~τ равен

Физический смысл криволинейного интеграла II рода это работа силы ~

V , дейст-

вующей на точку, движущуюся по кривой ` в направлении возрастания s.

Выведем формулу для вычисления криволинейного интеграла II рода от непрерывного векторного поля по кусочно-гладкой кривой с произвольным параметром

t, таким, что dt/ds > 0. Для этого в формулу (25) подставим выражение (27) для вектора ~τ :

Эта формула мотивирует традиционное обозначение криволинейного интеграла II рода.

56

Свойства криволинейного интегралa II рода

Z Z Z

1. Линейность: ~ ~ ~ ~

(cV + kW , ~τ)ds = c (V , ~τ)ds + k (W , ~τ)ds.

` ` `

2. Аддитивность: если конец кривой `1 совпадает с началом `2 и ориентация кривых `1 è `2 совпадает с ориентацией кривой ` = `1 `2, òî

2) ` = {x = cos s, y = sin s, z = 0; 0 ≤ s ≤ π/2}; dx = − sin s ds, dy = cos s ds.

Ориентация другая.

Теорема 14.2. (Формула Ньютона Лейбница для криволинейного интеграла) :

= Φ(B) − Φ(A).

57

15 Площадь поверхности

Вспомним, что множество Σ R3 называется простой гладкой двумерной поверхностью, если оно является образом связного открытого множества U R2 ïîä действием инъективного отображения ~r : U 7→R3, ò.å.

x(u, v)

причeм отображение ~r = y(u, v) имеет непрерывные частные производные, и его

z(u, v)

матрица Якоби

имеет всюду ранг 2 (ò.å. ∂~r/∂u è ∂~r/∂v линейно независимы в каждой точке (u, v)

U).

Связное множество Σ R3 называется гладкой поверхностью, если A Σ ε >

Любая гладкая поверхность локально представима в виде графика x = f(y, z), èëè

y = g(x, z), èëè z = h(x, y).

Как определить площадь гладкой поверхности? Если действовать по аналогии с кривой, т.е. взять супремум площадей многогранных поверхностей, вписанных в

глакую поверхность, то даже для ограниченного цилиндра получится ∞ (парадокс

½сапог Шварца ). Поэтому определим площадь поверхности не геометрически, а аналитически.

Определение 15.1. Пусть Σ простая гладкая поверхность вида (29), причем множество U квадрируемо, а частные производные ∂x/∂u, . . . , ∂z/∂v непрерывны и ограничены (в этом случае мы будем говорить, что простая поверхность Σ квадрируема). Тогда площадь поверхности Σ равна

Матрица J~rT ·J~r = G(u, v) (матрицa Грама) является симметричной и положительно опрелеленной. Выясним геометрический смысл корня из е определителя.

58

s

Чтобы можно было пользоваться определением 15.1, необходимо доказать его корректность, т.е. независимость S(Σ) от способа задания квадрируемой гладкой

поверхности Σ через параметры (u, v). Пусть

n o n o

~

Σ = ~r(u, v) : (u, v) U = R(s, t) : (s, t) W .

Тогда u и v дифференцируемы по s и t; обозначим соответствующую матрицу Якоби через T (s, t). Тогда по теореме о дифференцировании сложной векторнозначной фун-

кции имеем J~ (s, t) = J~r(u, v) · T (s, t).

R

[сделаем замену переменных; теперь u = u(s, t), v = v(s, t)]

ZZ

q

=det(J~rT (u, v) · J~r(u, v)) · |detT (s, t)| dsdt =

W

ZZ

q

=det (T T (s, t) · J~rT (u, v) · J~r(u, v) · T (s, t)) dsdt =

W

что и требовалось доказать.

Если квадрируемую гладкую поверхность разрезать на несколько частей по кусоч- но-гладким кривым, то е площадь равна сумме площадей е частей (это следует

59

из аддитивности двойного интеграла). Благодаря этому свойству можно корректно определить площадь ограниченной кусочно-гладкой поверхности как сумму площадей е гладких частей.

Посмотрим, как будет выглядеть формула площади для графика (30):

Подинтегральное выражение в этой формуле имеет такой геометрический смысл: это секанс угла наклона касательной плоскости к плоскости Oxy, или, что то же самое,

угла между нормалью и осью Oz. Действительно,

1) Представим Σ как график:

p

z = 4 − x2 − y2; (x; y) D = {(x − 1)2 + y2 < 1}.

60

Тогда секанс угла наклона равен

s

Вычислим площадь по формуле (32), перейдя к полярным координатам:

2) Параметризуем Σ широтой ψ и долготой ϕ :

x = 2 cos ψ cos ϕ; y = 2 cos ψ sin ϕ; z = 2 sin ψ; (ϕ; ψ) W.

Подставив такие x, y, z в уравнение цилиндра, получаем

W = {|ϕ| < ψ < π/2}.

Дифференцируем x, y, z ïî ψ è ϕ :

61