3.3 Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.

Критерии, используемые для проверки гипотезы о виде распределения случайной величины (генеральной совокупности) называют критериями согласия (с основной гипотезой), при этом альтернатива , как правило, не формулируется, подразумевая под ней «всё остальное». Одним из наиболее широко применяемых на практике критериев согласия, является критерий согласия («хи-квадрат»).

Критерий «хи-квадрат» в качестве меры расхождения эмпирического и теоретического законов распределения случайной величины использует значения статистики , где - объём выборки; -число непересекающихся множеств на которые разбита область возможных значений случайной величины ; -эмпирическая частота попадания в ; -вероятность попадания в , вычисленная для теоретического закона распределения . Закон распределения статистики при независимо от вида закона распределения случайной величины стремится к закону -распределения с степенями свободы ( -число параметров теоретического закона распределения , вычисляемых по выборке). Для его применения практически достаточно, чтобы .

Общая схема проверки непараметрической гипотезы , утверждающей, что случайная величина имеет теоретический закон распределения состоит в следующем.

1) Задают уровень значимости .

2) По выборке находят значения оценок неизвестных параметров предполагаемого закона распределения .

3) Область возможных значений случайной величины разбивают на непересекающихся множеств : интервалов, если - непрерывная величина или групп отдельных значений, если - дискретная величина и подсчитывают их частоты , . Очевидно, что .

4) Используя предполагаемый закон распределения вычисляют вероятности , - вероятности того, что наблюдаемое значение принадлежит множеству . Очевидно, что . Замечание. Критерий «хи-квадрат» использует тот факт, что случайные величины , , имеют распределения, близкие к нормальному . Чтобы это утверждение было достаточно точным, необходимо, чтобы для всех выполнялось условие . Если для некоторых это условие не выполняется, то их объединяют с соседними.

5) По заданным значениям и определяют критическое множество критерия «хи-квадрат»: , , где - критическая точка -распределения (приложение 6.3). Замечание. Если проводилось объединение , то - число множеств , оставшихся после их объединения.

6) По выборке вычисляют наблюдаемое значение статистики критерия «хи-квадрат».

7) Принимают статистическое решение: если , то основная гипотеза отклоняется как не согласующаяся с данными выборки; если , то принимается, т.е. считается, что гипотеза не противоречит данным выборки.

13.65 Опыт, состоящий в одновременном подбрасывании четырёх монет, повторили 100 раз. Эмпирическое распределение дискретной случайной величины - числа выпадений «гербов» - оказалось следующим:

Число «гербов»	0	1	2	3	4
Число подбрасываний	8	20	42	22	8

Используя критерий , на уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина имеет биномиальное распределение. (Указание. Принять вероятность выпадения «герба» ).

13.66 ОТК предприятия проверил 200 партий изделий по 5 изделий в каждой партии и получил следующее эмпирическое распределение дискретной случайной величины - числа нестандартных изделий:

Число нестандартных изделий в одной партии	0	1	2	3	4	5
Число партий	72	77	34	14	2	1

Используя критерий , на уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина имеет биномиальное распределение. (Указание. Принять в качестве значения оценки вероятности - вероятности того, что наудачу взятое изделие окажется нестандартным - относительную частоту появления нестандартных изделий).

13.67 При испытании радиоэлектронной аппаратуры фиксировалось число отказов. Результаты 600 испытаний приводятся ниже:

Число отказов	0	1	2	3	4	5	6
Число испытаний	400	167	29	3	0	0	1

Используя критерий , проверить гипотезу о том, что число отказов имеет распределение Пуассона. Принять .

13.68 В цехе с 10 станками ежедневно регистрировалось число вышедших из строя станков. Всего было проведено 200 наблюдений, результаты которых приведены ниже:

Число выбывших станков	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число зарегистри-рованных случаев	41	62	45	22	16	8	4	2	0	0	0

Используя критерий , проверить гипотезу о том, что число выбывших из строя станков имеет распределение Пуассона. Принять .

13.69 В течение 10 часов регистрировали прибытие автомашин к АЗС и получили следующее эмпирическое распределение непрерывной случайной величины - времени прибытия автомашин к АЗС (в часах):

	[8, 9)	[9, 10)	[10, 11)	[11, 12)	[12, 13)
	12	40	22	16	28
	[13, 14)	[14, 15	[15, 16)	[16, 17)	[17, 18]
	6	11	33	18	14

Используя критерий , на уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина имеет равномерное распределение.

13.70 В результате взвешивания 800 стальных шариков получено следующее эмпирическое распределение непрерывной случайной величины - веса шариков (в граммах):

	[20.0,20.5)	[20.5,21.0)	[21.0,21.5)	[21.5,22.0)	[22.0,22.5)
	91	76	75	74	92
	[22.5,23.0)	[23.0,23.5)	[23.5,24.0)	[24.0,24.5)	[24.5,25.0]
	83	79	73	80	77

Используя критерий , на уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина имеет равномерное распределение.

13.71 В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено следующее эмпирическое распределение непрерывной случайной величины - времени работы элементов (в часах):

	[0,5)	[5,10)	[10,15)	[15,20)	[20,25)	[25,30]
	133	45	15	4	2	1

Используя критерий , на уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина имеет показательное распределение.

13.72 В результате испытания 450 электроламп получено следующее эмпирическое распределение непрерывной случайной величины - времени горения электроламп (в часах):

	[0,400)	[400,800)	[800,1200)	[1200,1600)
	121	95	76	56
	[1600,2000)	[2000,2400)	[2400,2800]
	45	36	21

Используя критерий , на уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина имеет показательное распределение.

В задачах 13.73-13.77 для приведённых группированных выборок, приняв 5%-ный уровень значимости, проверить, используя критерий , гипотезу о том, что они получены из нормально распределённой генеральной совокупности.

13.73 Результаты измерений величины контрольного размера 68 деталей, изготовленных на одном станке (мм):

	[2.9,3.9)	[3.9,4.9)	[4.9,5.9)	[5.9,6.9)	[6.9,7.9]
	5	15	23	19	6

13.74 Результаты измерений входного сопротивления 130 электронных ламп (Ом):

	[3.0,3.6)		[3.6,4.2)		[4.2,4.8)	[4.8,5.4)	[5.4,6.0)
	2		8		35	43	22
[6.0,6.6)		[6.6,7.2]
15		5

13.75 Данные о товарообороте 150 продовольственных магазинов города (млн. руб.):

	[24.5,27.5)		[27.5,30.5)		[30.5,33.5)		[33.5,36.5)		[36.5,39.5)
	1		4		13		23		22
[39.5,42.5)		[42.5,45.5)		[45.5,48.5)		[48.5,51.5)		[51.5,54.5]
29		29		16		11		2

13.76 Результаты наблюдений за среднесуточной температурой воздуха ( ) в течение 300 суток:

	[ , )		[ , 0)		[0, 10)	[10, 20)	[20, 30)
	20		47		80	89	40
[30, 40)		[40, 50]
16		8

13.77 Результаты исследований прочности на сжатие 200 образцов бетона ( ):

	[190, 200)		[200, 210)		[210, 220)	[220, 230)
	10		26		56	64
[230,240)		[240, 250]
30		14

13.78 На экзамене по некоторому предмету студент отвечает только на один вопрос по одной из четырёх частей курса. Из 100 студентов 26 получили вопрос из первой, 32 – из второй, 17 – из третьей и 25 – из четвёртой части курса. Используя критерий , выяснить, можно ли считать, что студент, идущий на экзамен, с равной вероятностью получит вопрос по любой из четырёх частей курса? Принять .

13.79 Ниже приводятся данные о фактическом объёмах сбыта предприятием продукции (в условных единицах) в пяти районах города:

Район	1	2	3	4	5
Фактический объём сбыта	110	130	70	90	100

Используя критерий , выяснить, согласуются ли эти результаты с предположением о том, что сбыт продукции в этих районах должен быть одинаковым? Принять .