§4. Корреляционно-регрессионный анализ.
На практике часто бывает важно знать, существует ли зависимость между некоторыми наблюдаемыми величинами, насколько тесно они связаны между собой, можно ли по значению одной величины сделать какие-либо выводы о предполагаемом значении другой величины и т.д. Для решения задач такого рода и применяется корреляционно-регрессионный анализ.
Пусть
- выборка из двумерной генеральной
совокупности
.
Предварительное представление о
зависимости между случайными величинами
и
можно получить изобразив в прямоугольной
системе координат на плоскости точки
.
Такое графическое представление
двумерной выборки называют диаграммой
рассеивания
(корреляционным
полем).
Количественной
характеристикой степени линейной
зависимости между величинами
и
является коэффициент
корреляции
.
Состоятельной оценкой коэффициента
корреляции служит статистика
,
где
,
,
,
,
.
Если
,
то все выборочные точки
,
лежат на одной прямой. При
выборочные данные только имеют тенденцию
сосредотачиваться около прямых:
,
,
называемых
(теоретическими)
прямыми
регрессии
на
и
на
,
соответственно. Здесь
,
.
Первое уравнение даёт наилучший в
среднем квадратичном прогноз ожидаемых
значений
по наблюдениям
,
второе – прогноз значений
по наблюдениям
.
Прямые
,
называются эмпирическими
прямыми регрессии
на
и
на
,
соответственно. Здесь
,
,
,
,
-
найденные по выборке
,
,
значения статистик
,
,
,
,
,
являющихся состоятельными оценками
параметров
,
,
,
,
двумерной генеральной совокупности.
Если выборка представлена корреляционной
таблицей
,
,
,
,
где
,
- или отдельные различные выборочные
значения
и
или середины интервалов группировки
выборочных значений
и
,
- частота с которой в выборке встречается
пара
,
то значения статистик вычисляются по
формулам:
,
,
,
,
,
,
В задачах 13.80-13.81 для указанных выборок вычислить коэффициенты корреляции и построить диаграммы рассеивания.
13.80
13.81
В задачах
13.82-13.83 для
указанных выборок вычислить коэффициенты
корреляции, определить и нанести на
диаграмму рассеивания прямые регрессии
и
.
13.82
13.83
,
,
,
,
В задачах
13.84-13.85 вычислить
коэффициент корреляции и найти уравнения
прямых регрессии
и
по данным в следующих корреляционных
таблицах:
13.84
13.85
В случае выбора
из двумерной нормально распределённой
генеральной совокупности равенство
влечёт независимость случайных величин
и
.
Проверка параметрической гипотезы
основана на статистике
,
которая имеет распределение Стьюдента
с
степенями свободы.
Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента
корреляции .
Гипотеза |
Статистика критерия |
Критическое множество |
|
|
где
|
,
Здесь:
-критическая точка распределения
Стьюдента (приложение 6.4),
.-
объём выборки.
Доверительный
интервал для коэффициента корреляции
.
Здесь:
- корень уравнения
(приложение.6.2);
-выборочный коэффициент корреляции;
-
объём выборки. Значения гиперболического
тангенса вычисляются по таблице
приложения 6.6.
В задачах 13.86-13.89 построить доверительные интервалы для коэффициентов корреляции двумерной нормально распределённой генеральной совокупности по следующим данным:
13.86
13.87
13.88
13.89
В задачах
13.90-13.93, предполагая,
что выборки получены из двумерных
нормально распределённых генеральных
совокупностей, проверить гипотезу
при альтернативной гипотезе
по следующим данным:
13.90
13.91
13.92
13.93
Количественной
характеристикой степени нелинейной
зависимости между величинами
и
является корреляционное
отношение
,
.
Равенство
влечёт независимость случайных величин
и
,
а равенство
имеет место тогда и только тогда, когда
и
связаны функциональной зависимостью
.
Состоятельной оценкой корреляционного
отношения служит статистика
,
значение которой
,
в предположении, что выборка получена
из двумерной генеральной совокупности
(
,
)
и представлена в виде корреляционной
таблицы
,
,
,
вычисляется по формулам:
,
,
,
,
.
Проверка гипотезы о значимости выборочного значения корреляционного отношения .
Гипотеза |
Статистика критерия |
Критическое множество |
|
|
где
|
,
,
,
Здесь:
- критическая
точка распределения Фишера (приложение
6.5а,б).
В задачах
13.94-13.95 вычислить
эмпирическое корреляционное отношение
и проверить гипотезу
при альтернативной гипотезе
на уровне значимости
по следующим данным:
13.94
13.95
В задачах
13.96-13.97 требуется:
а)
вычислить эмпирическое корреляционное
отношение
и проверить его значимость на уровне
;
б)
найти выборочное уравнение нелинейной
регрессии
,
считая, что регрессионная зависимость
между величинами
и
имеет вид
.
(Указание.
Эмпирические коэффициенты
,
,
регрессионной зависимости находят как
решение системы уравнений метода
наименьших квадратов
,
где
).
13.96
13.97