§3. Тройной интеграл.
Пусть функция
непрерывна в ограниченной замкнутой
пространственной области
.
Если область
имеет
вид
,
где функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением на отрезке
,
функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением в области
,
являющейся проекцией области
на плоскость
,
то выражение
называется повторным
интегралом
от функции
по области
.
Аналогично вводятся другие повторные
интегралы.
В повторных интегралах от функции последовательно вычисляются простые (однократные) интегралы, причём интегрирование производится по внутренней переменной, а внешние переменные считаются постоянными. В результате последовательных интегрирований получим число.
В задачах 10.81-10.88 вычислить повторные интегралы:
10.81
.
10.82
.
10.83
.
10.84
.
10.85
.
10.86
.
10.87
.
10.88
.
Тройным
интегралом
от непрерывной функции
по ограниченной замкнутой пространственной
области
называется число
,
где
,
,
и суммирование ведётся по тем значениям
,
и
,
для которых
.
Замкнутую область
,
где функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением в области
,
являющейся проекцией области
на плоскость
,
будем называть элементарной
в направлении оси
и обозначать
.
Аналогично вводятся элементарные
области в направлении других координатных
осей.
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению одного двойного интеграла и одного простого (однократного) или к вычислению трёх простых интегралов.
Тройной интеграл
по области
вычисляется по формуле
.
Если область
- элементарная в направлении оси
,
т.е. имеет вид
,
где функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением на отрезке
,
то применяют формулу
.
Если область
- элементарная в направлении оси
,
т.е. имеет вид
,
где функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением на отрезке
,
то применяют формулу
.
Если
не является элементарной, то её
представляют в виде объединения
непересекающихся (без общих внутренних
точек) областей
,
каждая из которых является элементарной
в направлении той или другой координатной
оси. Разбиение зависит от желаемого
порядка расстановки пределов
интегрирования. Тогда в силу аддитивности
тройного интеграла
.
В задачах 10.89-10.94 вычислить тройные интегралы по областям , ограниченными указанными поверхностями:
10.89
,
.
,
,
,
.
10.90
,
.
,
,
,
.
10.91
,
.
,
.
10.92
,
.
10.93
,
,
,
,
.
10.94
,
,
,
,
.
При переходе в
тройном интеграле от прямоугольных
координат
к цилиндрическим координатам
,
связанным с
прямоугольными координатами соотношениями
,
,
,
имеет место
формула
,
где
-область
интегрирования в пространстве переменных
,
и
.
Если область
имеет вид
,
то применяют формулу
.
При переходе в
тройном интеграле от прямоугольных
координат
к сферическим координатам
(
-долгота,
-широта) связанным с прямоугольными
координатами соотношениями
,
,
,
имеет место
формула
,
где
-область
интегрирования в пространстве переменных
,
и
.
Если область
имеет вид
,
то применяют формулу
,
где
.
В задачах
10.95-10.98 в
тройном интеграле
перейти к цилиндрическим координатам
,
и расставить пределы интегрирования:
10.95
.
10.96
.
10.97
.
10.98
.
В задачах
10.99-10.102
в тройном
интеграле
перейти к сферическим координатам
,
и расставить пределы интегрирования:
10.99
.
10.100
.
10.101
.
10.102
.
В задачах 10.103-10.108 перейти к цилиндрическим координатам и вычислить следующие тройные интегралы:
10.103
,
,
,
.
10.104
,
.
10.105
,
.
10.106
,
,
.
10.107
,
,
.
10.108
В задачах 10.109-10.112 перейти к сферическим координатам и вычислить следующие тройные интегралы:
10.109
.
10.110
.
10.111
10.112
.