§5. Несобственные кратные интегралы.

Если функция непрерывна в неограниченной области , то по определению полагают , где - ограниченная замкнутая область, которая целиком лежит в области и стремится к произвольным образом. Если предел в правой части существует и не зависит от выбора области , то соответствующий несобственный интеграл по бесконечной области называется сходящимся, в противном случае расходящимся. Предел в правой части не зависит от выбора , если в области .

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области всюду, за исключением точки , то по определению полагают , где - область, получаемая из путём удаления малой области диаметра , содержащей точку . Если предел в правой части существует и не зависит от вида удаляемых из малых областей, то соответствующий несобственный интеграл от разрывной функции называется сходящимся, в противном случае расходящимся. Предел в правой части не зависит от вида удаляемых из малых областей, если в области и в этом случае, в качестве таких областей можно брать круги радиуса с центром в точке .

Аналогично определяется несобственный интеграл, если функция в ограниченной замкнутой области имеет линию разрыва . В этом случае - область, получаемая из путём удаления полосы малой ширины , содержащей линию разрыва .

В задачах 10.143-10.154 вычислить несобственные интегралы по бесконечной области или установить их расходимость:

10.143 . 10.144 .

10.145 . 10.146 .

10.147 . 10.148 .

10.149 . 10.150 .

10.151 . 10.152 .

10.153 . 10.154 .

В задачах 10.155-10.160 вычислить несобственные интегралы от разрывных функций или установить их расходимость:

10.155 . 10.156 .

10.157 . 10.158 .

10.159 . 10.160 .

Глава 11. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля.

§1. Криволинейный интеграл первого рода и его приложения.

Если - функция, определённая и непрерывная в точках гладкой плоской кривой , заданной уравнением ( ) и - дифференциал дуги, то криволинейный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле . В случае параметрического задания кривой : , ( ) имеет место формула . Если плоская кривая задана уравнением ( ) в полярных координатах, то .

Если - функция, определённая и непрерывная в точках гладкой пространственной кривой : , , ( ) и - дифференциал дуги, то криволинейный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле

.

Особенность криволинейного интеграла 1-го рода состоит в том, что он не зависит от направления пути интегрирования.

Длина дуги кривой вычисляется по формуле . Масса дуги кривой с плотностью вычисляется по формуле .

Если - дуга плоской кривой с плотностью , то её статические моменты и , моменты инерции и относительно осей и , координаты и центра масс вычисляются

по формулам:

249