§4. Некоторые приложения тройного интеграла.
Объём
υ тела
вычисляется по формуле υ
.
Среднее значение
непрерывной функции
в
пространственной области
вычисляется по формуле
.
Если
-
область пространства
,
занятого телом, и
-
плотность тела, то статические моменты
тела относительно координатных плоскостей
,
и
,
моменты инерции тела относительно
координатных осей
,
и
,
моменты инерции тела относительно
координатных плоскостей
,
и
,
масса
тела, координаты
,
,
центра масс
тела вычисляются по формулам :
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Если тело однородное, то полагают .
В задачах 10.113-10.116 найти объём тела , ограниченного указанными поверхностями:
10.113
,
,
,
.
10.114
,
,
,
,
.
10.115
,
,
,
,
.
10.116
,
.
В задачах 10.117-10.120 перейти к цилиндрическим координатам и найти объём тела , ограниченного поверхностями:
10.117
,
.
10.118
,
.
10.119
,
.
10.120
,
.
В задачах 10.121-10.122 перейти к сферическим координатам и найти объём тела , ограниченного поверхностями:
10.121
,
,
,
.
10.122
,
.
10.123 Найти
среднее значение функции
в области
:
а)
;
б)
.
В задачах
10.124-10.127 найти
массу тела
плотности
,
ограниченного поверхностями:
10.124
,
,
,
.
10.125
,
,
.
10.126
,
,
.
10.127
,
,
,
.
10.128 Найти массу куба с ребром , если его плотность в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки до одной из вершин куба.
10.129 Найти
массу прямого кругового цилиндра, высота
которого равна
,
а радиус основания
,
если его плотность
в
каждой точке равна квадрату расстояния
этой точки от центра основания цилиндра.
10.130 Найти
массу и среднюю плотность сферического
слоя между поверхностями
и
,
если его плотность
в
каждой точке пропорциональна квадрату
расстояния от точки до начала координат,
а наибольшее значение плотности
.
В задачах 10.131-10.134 найти координаты центра масс однородного тела плотности , ограниченного поверхностями:
10.131
,
.
10.132
,
,
.
10.133
,
,
,
.
10.134 , , .
В задачах 10.135-10.137 найти момент инерции относительно указанной оси однородного тела плотности , ограниченного следующими поверхностями:
10.135
,
,
,
относительно
.
10.136
,
,
,
,
,
относительно
.
10.137
,
относительно
.
В задачах 10.138-10.140 найти момент инерции относительно указанной плоскости однородного тела плотности , ограниченного следующими поверхностями:
10.138
,
относительно
.
10.139
,
,
,
относительно
.
10.140
,
относительно
.
10.141 Найти момент инерции однородного сегмента параболоида вращения плотности с радиусом основания и высотой относительно его оси вращения.
10.142 Найти момент инерции однородного кругового конуса плотности с радиусом основания и высотой относительно его оси.