даишев лекция по дифурам

Можно доказать (мы этого делать не будем), что если x1 = ϕ1(t) удовлетворяет уравнению (12.8), то, определив из (12.7) x2 = ϕ2(t), x3 = ϕ3(t), ... , xn = ϕn(t), получим, что набор функций { ϕ1(t), ϕ2(t), ... , ϕn(t) } есть решение нашей системы уравнений (12.4).

Таким образом, решение системы дифференциальных уравнений может быть сведено к решению одного дифференциального уравнения n-го порядка. Ранее нами уже был проведен и обратный процесс, а именно, что решение уравнения n-го порядка может быть сведено к решению системы n дифференциальных уравнений первого порядка.

Замечание. Если указанный выше процесс применить к

однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Аналогичное замечание справедливо и для неоднородной системы

12.3. Интегрирование систем дифференциальных уравнений путем нахождения интегрируемых комбинаций

Определение. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием комбинирования уравнений системы (12.4), но уже легко интегриру-

91

Данное выражение называется первым интегралом системы (12.4). Другими словами, первым интегралом Φ(t, x1, x2, ... , xn) =

C системы (12.4) называется соотношение, обращающееся в тождество при некотором C, если x1, x2, ... , xn заменить решением x1 = ϕ1(t), x2 = ϕ2(t), ... , xn = ϕn(t) системы (12.4).

Часто под первым интегралом понимают левую часть равенства (12.9) как функцию, не равную тождественно постоянной, но сохраняющую постоянные значения вдоль интегральных кривых системы (12.4).

ли эти первые интегралы функционально независимы, то есть

D(Φ1, Φ2, ..., Φs) = 0, то s независимых функций из набора

D(xj1, xj2, ..., xjs)

x1, x2, ... , xn можно выразить через остальные и, подставляя их в систему (12.4), придем к системе уравнений с меньшим числом неизвестных. При s = n, а также когда все интегралы независимы, все неизвестные функции могут быть определены из системы Φ1(t, x1, x2, ..., xn) = C1, Φ2(t, x1, x2, ..., xn) = = C2, ..., Φn(t, x1, x2, ..., xn) = Cn.

Систему (12.4) иногда удобно представить в виде

92

Обозначая t = x0 и переобозначая удобным образом переменные, можно получить систему, записанную в симметричной форме

Преимуществом такой формы записи системы является то, что в эту систему все переменные x0, x1, x2, ..., xn входят равноправно, тогда как в нормальной системе (12.4) такого равноправия нет: x1, x2, ..., xn рассматриваются как функции, а t — как независимая переменная.

Симметричная форма системы уравнений может оказаться очень полезной для нахождения интегрируемых комбинаций. Для этого можно воспользоваться свойством равных дробей: если

k1a1 + k2a2 + ... + knan = t. k1b1 + k2b2 + ... + knbn

ЛЕКЦИЯ 13

13.1. Системы линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравне-

ний

93

однородной системы также является решением этой системы дифференциальных уравнений.

94

— также решения этой системы.

Доказательство. L(X) = L(U + iV ) = L(U ) + iL(V ) = = 0 L(U ) = 0, L(V ) = 0, поскольку комплексная величина равна нулю тогда и только тогда, когда действительная и мнимая части этой комплексной величины равны нулю. Таким образом, U и V — решения системы.

Определение. Векторы X1, X2, ... , Xn называются линейно зависимыми на сегменте t [ a, b ], если существуют такие постоянные λ1, λ2, ... , λn, среди которых хотя бы одно число λk = 0, что линейная комбинация λ1X1 + λ2X2 + ...+ +λnXn = 0. Если же это соотношение выполнено тогда и только

95

которая называется матрицей Вронского. Здесь, как всегда, первый индекс обозначает строку, а второй — столбец. Определитель этой матрицы называется определителем Вронского или

вронскианом.

Теорема 1 (о линейной зависимости системы решений).

Если определитель Вронского решений X1, X2, ... , Xn однородной системы линейных дифференциальных уравнений с непрерывными на сегменте [ a, b ] коэффициентами aik(t) ра-

Доказательство. Вследствие непрерывности коэффициентов aik(t), выполняется теорема существования и единственности решения для системы дифференциальных уравнений. Сле-

96

что эквивалентно системе алгебраических уравнений

...................................................................

C1 xn1(t0) + C2 xn2(t0) + ... + Cn xnn(t0) = 0

с определителем равным нулю. Соответствующее этой нетриви-

1, 2, ..., n) однородной системы линейных уравнений с непрерывными на сегменте [a, b] коэффициентами aik(t) является общим решением этой системы дифференциальных уравнений.

Доказательство. Покажем, что какое бы частное реше-

В силу теоремы существования и единственности решения,

97

это требование эквивалентно тому, что должно быть удовлетво-

n

рено векторное уравнение Ci Xi(t0) = X0, где Ci считаются

i=1

неизвестными величинами, или подробно

Определитель данной системы — это определитель Вронского нашей линейно независимой системы решений. Поэтому он отличен от нуля, det W (t) = 0. Следовательно, система всегда имеет единственное решение, которое может быть найдено, например, по формулам Крамера.

Теорема 3(об общем решении линейной неоднородной системы). Если Y (t) – частное решение неоднородной системы

i=1

— линейно независимые решения соответствующей однородной системы L (X(t)) = 0, а Ci — произвольные постоянные, есть общее решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений.

$%& '

≡F (t)

Если X1(t), X2(t), ..., Xn(t) — система линейно независимых

n

решений однородной системы L (Z(t)) = 0, то Z(t) =

i=1

98

имеет единственное решение, которое может быть найдено, например, по формулам Крамера. Определитель этой системы совпадает с определителем Вронского для системы линейно независимых функций и поэтому отличен от нуля.

Теорема 4(о суперпозиции решений.)Решением системы

L (X(t)) = F1(t)+F2(t)+...+Fs(t) является сумма всех решений

X1(t), X2(t), ... , Xs(t) уравнений L (X(t)) = F1(t), L (X(t)) = F2(t), ... , L (X(t)) = Fs(t).

Доказательство. Дано:

L (X1(t)) ≡ F1(t), L (X2(t)) ≡ F2(t), ... , L (Xs(t)) ≡ Fs(t).

Тогда L (X1(t) + X2(t) + ... + Xs(t)) =

= L (X1(t))+L (X2(t))+...+L (Xs(t)) ≡ F1(t)+F2(t)+ ... +Fs(t),

то есть сумма решений X1(t)+X2(t)+ ... +Xs(t) действительно

99

является решением системы L (X(t)) = F1(t) + F2(t) + ...+ Fs(t). Как следствие этой теоремы имеем, что если система

L (X(t)) = U (t) + i V (t)

имеет решение ˜ ˜ то ˜ ≡ ˜ ≡

Z = X(t) + i Y (t), L X(t) U (t), L Y (t)

13.2. Метод вариации произвольных постоянных

Решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений

i=1

где X1(t), X2(t), ... , Xn(t) — система линейно независимых

решений однородной системы dXdt − A(t)X = 0, а Ci(t) — неизвестные пока функции. Для нахождения этих функций под-

ставим решение (13.5) в исходную систему (13.4):

и, следовательно, второе и третье слагаемые взаимно уничтожа-

100