Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

даишев лекция по дифурам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

959 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 11 11.1. Функция Грина

Рассмотрим первую краевую задачу с нулевыми граничны-

ми условиями
d	[ p(x) y ] − q(x)y = f (x), y(x0) = y(x1) = 0	(11.1)
dx

и укажем способ построения решения этой задачи. Для этого

нам понадобится функция Грина.
Определение. Функцией Грина G(x, s)				краевой задачи
(11.1) называется функция, обладающая свойствами:
1) G(x, s)	непрерывна по x при фиксированном s при
x0 ≤ x ≤ x1, x0 ≤ s ≤ x1,
2) G(x, s)	является решением соответствующего одно-
		d
родного уравнения			[ p(x) y ] − q(x)y = 0	на всем отрезке
		dx
[ x0, x1 ], за исключением точки x = s,
3) G(x, s)	удовлетворяет граничным условиям G(x0, s) =

=G(x1, s) = 0,

4)в точке x = s производная Gx(x, s) должна иметь

разрыв первого рода со скачком	1 .
	p(s)

Непосредственной подстановкой в уравнение dxd [ p(x) y ]− q(x)y = f (x) проверим, что

y(x) = G(x, s) f (s) ds	(11.2)
x0

является решением задачи (11.1).

Граничные условия, очевидно, выполняются в силу свойства 3) функции Грина. Покажем, что функция (11.2) удовлетворяет уравнению (11.1). Для этого найдём y (x) и y (x) и подставим их в уравнение (11.1).

x1	x	x1
y (x) =	Gx(x, s)f (s)ds =	Gx(x, s)f (s)ds+	Gx(x, s)f (s)ds.
x0	x0	x

Для того чтобы найти вторую производную, воспользуемся уже знакомой формулой дифференцирования интеграла, зави-

ψ(x)

сящего от параметра: если

F (x) =

f (x, s)ds, то

ϕ(x)

ψ(x)

f (x, ϕ(x)) ϕx + ψ(x) fx(x, s)ds.

f (x, s)ds = f (x, ψ(x)) ψx

−

dx ϕ(x)

ϕ(x)

Получим

y (x) = x Gxx(x, s)f (s)ds + Gx(x, x

−

0)f (x)+

+Gxx(x, s)f (s)ds − Gx(x, x + 0)f (x) =x

= Gxx(x, s)f (s)ds + f (x) [Gx(x, x − 0) − Gx(x, x + 0)] =

= Gxx(x, s)f (s)ds + f (x) [Gx(x + 0, x) − Gx(x − 0, x)].

Подставим y (x), y (x) в уравнение (11.1). В силу условий 2) и 4) нетрудно видеть, что это уравнение действительно выполнено тождественно:

[p(x)Gxx(x, s) + px(x) · Gx(x, s) − q(x)G(x, s)] f (s)ds+

x0	$		%&	'
x0		=0
		=0

+p(x) [Gx(x + 0, x) − Gx(x − 0, x)] f (x) ≡ f (x).

=1/p(x)

11.2 Метод построения функции Грина

Мы знаем, что функция Грина удовлетворяет однородному

линейному уравнению

[ p(x) y ] − q(x)y = 0. Найдем реше-

ние y1(x) этого уравнения, определяемое начальными услови-

ями

и удовлетворяющее требованию

) = 0, y

) = 0,

y1(x1)

0. (Случай y1(x0)

= y1(x1) = 0 является исклю-

чительным и мы не будем его здесь рассматривать.) Очевидно, что C1 · y1(x), где C1 — постоянная, также является решением того же уравнения и удовлетворяет граничному условию

C1 · y1(x0) = 0.

Аналогично найдём нетривиальное решение y2(x), удовлетворяющее условию y2(x1) = 0. Этому же условию удовлетво-

ряют все решения семейства C2 · y2(x), где			C2		— произвольная
постоянная.
Функцию Грина ищем в виде
G(x, s) =	C1(s) y1(x)	при x0	≤	x	≤	s,	(11.3)
G(x, s) =			≤		≤		(11.3)

	C2(s) y2(x)	при s ≤ x ≤ x1,
	C2(s) y2(x)	при s ≤ x ≤ x1,

причём постоянные C1(s) и C2(s) выберем так, чтобы выполнялись свойства 1) — 4), которыми должна обладать функция Грина, то есть функция G(x, s) была бы непрерывна по x при

фиксированном s и, в частности, непрерывна в точке	x = s,
а производная функции Грина Gx(x, s) в точке x = s	имела

скачок	1	:

	p(s)
			C1 y1(s)	−	C2 y2(s) = 0,
				−
					1	(11.4)
					1	(11.4)


			C2 y2(s) − C1 y1(s) = p(s).
			C2 y2(s) − C1 y1(s) = p(s).




						и y2(x1) =
В силу предположения				y1(x0) = 0, y1(x1) = 0		и y2(x1) =

0, y2(x0) = 0, решения y1(x) и y2(x) линейно независимы, так как линейно зависимые от y1(x) решения имеют вид C1 y1(x) и, следовательно, при C1 = 0 не обращаются в нуль в точке x1, в которой обращается в нуль решение y2(x). Это означает, что

определитель Вронского

W [ y1, y2 ] ≡ W (x)

решений y1, y2

в любой точке отличен от нуля и постоянные

C1 и C2 легко

находятся:

C1 =

y2(s)

, C2 =

y1(s)

откуда

W (s)p(s)

y1(x)y2(s)

при x0

W (s)p(s)

≤ ≤

G(x, s) =

(11.5)

(x)y

(s)

при s < x

≤

x1.

W (s)p(s)

Пример. Найти функцию Грина краевой задачи

y (x) + y(x) = f (x), y(0) = 0, y (π/2) = 0.

Решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющего поставленным граничным условиям, имеют вид y1(x) =

= C1 sin x, y2(x) = C2 cos x. Следовательно,
G(x, s) =	−	cos s sin x при	0	≤	x	≤	s ,
G(x, s) =	−			≤		≤

	− sin s cos x при		s < x ≤				π
	− sin s cos x при		s < x ≤				/2 .

11.3 Физическая интерпретация функции Грина

Во многих задачах решение y(t) уравнения

y + p1(t) y + p2(t) y = f (t)

(11.6)

описывает смещение некоторой системы (например, струны), f (t)


— силу, действующую на эту систему,								t — время. Предполо-
жим, что при	t < s		система находилась в состоянии покоя, а
ее смещение вызывается силой						fε(t),		отличной от нуля лишь
в промежутке	<		t	≤	s + ε,		причём импульс этой силы
	ss+ε
равен единице:		fε(t)dt			= 1.		Согласно формуле (11.2), ре-

шение уравнения s(11.6) может быть записано в виде yε(t) =

t1
	G(t, s)fε(s)ds. Поскольку подынтегральная функция отлична
t0			s < t		s + ε, то равенство мо-
от нуля только в промежутке			s < t	≤	s + ε, то равенство мо-
	t1			≤		s+ε
жет быть продолжено:		G(t, s)fε(s)ds =					G(t, s)fε(s)ds. Ес-
	t0					s
ли G(t, s) — непрерывная по s			функция, то к последнему инте-

гралу можно применить теорему о среднем: s+εG(t, s)fε(t)dt =

= G(t, s ) s+εfε(s)ds = G(t, s ), где

(s, s + ε). Переходя к

lim y

(t) = y(t) = G(t, s).

пределу при

→

получим

ε→0

Таким образом, функция Грина описывает мгновенное воздействие на систему силы единичного импульса.

(12.3)

ЛЕКЦИЯ 12 12.1. Системы дифференциальных уравнений

Обратимся к физической задаче о движении материальной

точки массы		под действием силы						dr		По второму
	m					F (t, r,			).
	m					F (t, r,		dt	).
закону Ньютона		d2r
		d2r				dr
		m		2	= F (t, r,		),			(12.1)
			dt			dt
				В координатной записи это векторное
где F = i P + j Q + k R.				В координатной записи это векторное

уравнение может быть представлено в виде системы дифферен-

циальных уравнений второго порядка
mx¨ = P (t, x, y, z, x,˙	y,˙ z˙),



	y,˙ z˙),	(12.2)
my¨ = Q(t, x, y, z, x,˙	y,˙ z˙),	(12.2)



mz¨ = R(t, x, y, z, x,˙	y,˙ z˙).

Если принять за неизвестные функции не только x(t), y(t), z(t) но и их производные x˙ (t), y˙ (t), z˙(t), то получим следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка

x˙ = u,

y˙ = v,

z˙ = w,

mu˙ = P (t, x, y, z, u, v, w),

mv˙ = Q(t, x, y, z, u, v, w),

mw˙ = R(t, x, y, z, u, v, w).

Как известно, для того чтобы решить поставленную задачу описания траектории движения точки, необходимо задать начальное положение x0 = x(t0) , y0 = y(t0), z0 = z(t0) и скорость u0 = u(t0), v0 = v(t0), w0 = w(t0) точки.

Обобщение такой задачи на n-мерный случай приводит к необходимости рассмотреть при наличии начальных условий

(≡ xi 0)

следующую систему дифференциальных

xi(t0) = xi

уравнений:

dx1 = f1(t, x1, x2, ..., xn),

dx2

= f2(t, x1, x2, ..., xn),

(12.4)

....................................

= f

(t, x

, x

, ..., x

Удобно ввести в n-мерном евклидовом пространстве вектор-

функции

x1(t)

f1(t, x1, x2, ..., xn)

(t)

(t, x , x

, ..., x

)

1 2

X =

F =

.......

..........................

xn(t)

fn(t, x1, x2, ..., xn)

Тогда система (12.4) может быть записана в более компактном виде

dX		= F (t, X)	(12.4 )
	dt

с начальными условиями X(t0) = X0.
Решением системы (12.4) будет x1 = ϕ1(t), x2 = ϕ2(t) , ... ,
xn = ϕn(t), или кратко

ϕ1(t)

ϕ2(t)

X = Φ(t) ≡

........

ϕn(t)

— что является интегральной кривой в евклидовом пространстве с координатами (t, x1, x2, ..., xn).

В физике и механике системе (12.4) или, эквивалентно, (12.4 ) даётся более естественная интерпретация. Система (12.4 ) называется динамической системой, переменная t принимается за время, и тогда X = Φ(t) описывает траекторию движения точки, dXdt — скорость точки в n-мерном евклидовом пространстве, которое в физике называют фазовым пространством, а траекторию — фазовой траекторией. Динамическая система (12.4 ) в данный момент времени t определяет в n-мерном фазовом пространстве поле скоростей. Если правая часть F (t, X) зависит от времени, то поле скоростей меняется со временем и фазовые траектории могут пересекаться. Если же F = F (X), то поле скоростей стационарно, и, следователь-

но, через каждую точку фазового пространства						(x1, x2, ..., xn)
будет проходить лишь одна траектория.
Пример. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
		dx		dy
			= y,	dt = −x.
		dt
Представим ее в виде	dx		dy	= dt, получим	dx	dy	Это
	y =		− x		y	+ x = 0.
уравнение легко интегрируется			x2 + y2 = C12 или в параметрическом виде

x = C1 cos ϕ, y = C1 sin ϕ. Подставив x и y в исходную систему, получим

единственное уравнение для определения функции ϕ(t) :	dϕ	= −1, откуда
единственное уравнение для определения функции ϕ(t) :	dt	= −1, откуда
ϕ(t) = −t + C2. Таким образом, общее решение системы
x = C1 cos(t − C2), y = −C1 sin(t − C2).

На фазовой плоскости это решение описывает семейство концентрических окружностей, а начало координат является точкой покоя системы.

12.2. Сведение системы дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению старшего порядка

Рассмотрим общий случай. Предположим, что в системе (12.4) функции fi имеют непрерывные частные производные до (n − 1)-го порядка включительно. Подставив в (12.4) некоторое

решение xi = xi(t),

получим

тождеств. Дифференцируя

первое тождество по

получим

d2x

∂f

∂f dx

∂t

k=1 ∂x

или, вследствие самого первого уравнения нашей системы (12.4),

d2x

∂f

def

= F

(t, x

, x

, ..., x

dt2

∂t

k=1

∂x

(Здесь получившуюся в результате подстановки правую часть

равенства мы обозначили

F2(t, x1, x2, ..., xn).) Дифференцируя

последовательно это тождество

n раз, получим

d3x

∂F

def

= F (t, x , x , ..., x

dt3

∂t

k=1 ∂x

...........................................................

dn−1x1

def

(t, x

, x

, ..., x

dtn−1

n−1

dnx1

def

(t, x , x

, ..., x

(12.5)

dtn

(Это всегда можно сделать, если все якобианы

В результате мы получили

n − 1 тождество

dx1

= f1(t, x1, x2, ..., xn),

d x1

= F

(t, x

, x

, ..., x

d x1

= F3(t, x1, x2, ..., xn) ,

dt3

....................................

−

= F

n 1

(t, x

, x

, ..., x

−

Выражая из этих тождеств

x2,

x3,

... , xn через t, x1,

dx1 ,

dx2

, ... ,

dn−1x1

, получим

dtn−1

= Ψ

t, x ,

dx1

d2x1

, ..., dn−1x1

−

d x

−

t, x

= Ψ

, ...,

−

..........................................................

d x

−

t, x

= Ψ

, ...,

−

(12.6)

(12.7)

D (f, F ) = 0 D(t, x)

для всех рассматриваемых значений (t, x1, x2, ..., xn).) Подставляя полученные x2, x3, ... , xn в последнее тождество (12.5), имеем

dnx1	= Φ	t, x		,	dx1	, ...,	dn−1x1	.
dtn	= Φ	t, x		,	dt	, ...,	dtn−1	.
dtn			1		dt		dtn−1

Этому соотношению удовлетворяет всякое решение решений системы (12.4).

(12.8)

x1(t) из

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025564 Кб0Д1.rtf
#
01.07.2025724 Кб0Д1.rtf
#
01.05.20251 Мб0Да Винчи.doc
#
10.02.2015377 Кб7ДА_2013.pdf
#
10.02.201588 Кб14дагестан Волкова.doc
#
10.02.2015959 Кб96даишев лекция по дифурам.pdf
#
01.12.2018125 Кб3Дайджест Деловой русский.doc
#
10.02.2015139 Кб76даль напутное слово.pdf
#
01.07.2025111 Кб1Данилевич - Пуччини.docx
#
10.02.201549 Кб27ДАРИЮС МИЙО студ.doc
#
22.11.201936 Кб9Даша.docx