даишев лекция по дифурам

где ψ1(x1, x2, ..., xn), ψ2(x1, x2, ..., xn), ... , ψn−1(x1, x2, ..., xn) –

решения уравнения (18.2), то есть для каждой из этих функций выполнено

Систему уравнений (18.3),(18.4) можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно функций Xi с определителем

Однородная система алгебраических уравнений имеет нетривиальные решения Xi тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю: ≡ 0. Приведённый выше определитель одновременно является якобианом n функций ϕ, ψ1, ψ2, ... , ψn−1. Тождественное обращение в нуль якобиана n функций n переменных указывает на наличие функциональной зависимости между этими функциями. Отсюда

ϕ(x1, x2, ...xn) = Φ (ψ1, ψ2, ..., ψn−1) ,

что и требовалось доказать.

141

18.2.Общее решение квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка

Пусть теперь задано квазилинейное неоднородное уравне-

Сначала найдём функции u(x1, x2, ..., xn, z), обращающие урав-

142

Общим решением уравнения (18.6) является произвольная дифференцируемая функция

u = Φ (ψ1(x1, ..., xn, z), ψ2(x1, ..., xn, z), ..., ψn(x1, ..., xn, z)) .

(18.9)

Но тогда общим решением исходного уравнения (18.5) является произвольная дифференцируемая функция z(x1, x2, ..., xn), определяемая из неявного уравнения

u = Φ (ψ1(x1, ..., xn, z), ψ2(x1, ..., xn, z), ..., ψn(x1, ..., xn, z)) = 0.

Общее решение изменённого уравнения можно записать в виде

y

= f (x). Тогда z = f (x) ex – общее решение

18.3. Задача Коши квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка

Геометрические соображения приводят к следующему истолкованию формулы (18.10).

Система уравнений (18.7) задаёт в (n+1)-мерном пространстве переменных (x1, x2, ..., xn, z) n-параметрическое семейство

143

характеристик (18.8). Это семейство заполняет всю область изменения аргументов. Наша задача — выделить из этого множества (n − 1)-мерное подмножество, которое будет образовывать интегральную поверхность. Для этого достаточно параметры C1, C2, ... , Cn связать, наложив произвольную достаточно гладкую связь вида

Подставляя в (18.11) первые интегралы из (18.8), мы и получим (18.10). Эти геометрические соображения дают возможность найти решение задачи Коши. Эта задача ставится следующим образом: через (n − 1)-мерное многообразие (β) в пространстве (x1, x2, ..., xn, z) провести интегральную поверхность. Зададим это многообразие в параметрическом виде

Теперь мы должны связь (18.11) наложить не произвольным образом, а исходя из (18.12). Переменные (x1, x2, ..., xn, z) должны одновременно удовлетворять и условиям (18.8) — (α), и уравнению (18.12) — (β). Из двух систем (α) и (β) мы и получим искомую связь, в которой функция Φ будет уже, вообще говоря, вполне определённой функцией, дающей решение поставленной задачи Коши.

144

Пример. Рассмотрим уравнение

*1 + √z − x − y+ ∂x∂z + ∂y∂z = 2.

Составим систему

1 + √zdx− x − y = dy1 = dz2 .

Её интегралами будут

√

z − 2y = C1, 2 z − x − y + y = C2.

Поэтому общее решение нашего уравнения имеет вид

* √ +

Φ z − 2y, 2 z − x − y + y = 0.

Найдём решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям z = 2x при y = 0.

Полагая в найденных ранее интегралах y = 0, получим

√

z = C1, 2 z − x = C2.

Разрешая эту систему относительно x и z, найдём

Поскольку x и z связаны условием z − 2x = 0, решением поставленной задачи Коши будет

Заменяя C1 и C2 их выражениями, окончательно получим

* √ +2

2z − 4y − 2 z − x − y + y = 0.

145

БЛАГОДАРНОСТИ

Авторы выражают благодарность Анчикову А.М. и Сушкову С.В., которые внимательно прочитали рукопись и внесли много полезных замечаний. Все эти замечания тщательно учтены при подготовке рукописи к печати. Мы также признательны Патрину Е.В. и Попову В.А. за помощь, которую они оказали при подготовке графических иллюстраций.

ЛИТЕРАТУРА

При написании этого пособия были использованы книги:

1.Эльсгольц Л.Э. "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление", М.: Наука, 1969.

2.Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. "Дифференциальные уравнения", М.: Наука, 1985.

3.Карташев А.П., Рождественский Б.Л. "Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления", М.: Наука, 1980.

4.Степанов В.В. "Курс дифференциальных уравнений", М.: Гостехиздат, 1959.

146

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.Основные понятия и определения. . . . . . . . . . . 3

1.2.Геометрическое толкование дифференциального

уравнения первого порядка y = f (x, y). . . . . . . . 7

1.3.Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. 8

1.4.Дифференциальные уравнения в частных

производных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Лекция 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.Уравнения с разделяющимися переменными. . . . . 13

2.2.Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.Линейное уравнение первого порядка. . . . . . . . 15

2.4.Уравнение Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.Уравнение Риккати. . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6.Уравнения в полных дифференциалах. . . . . . . . 19

3.2.Принцип сжатых отображений. . . . . . . . . . . 25

3.3.Доказательство теоремы Коши. . . . . . . . . . . 27

Лекция 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.1. Теорема Коши существования и единственности

решения системы уравнений. . . . . . . . . . . . 32 4.2. Особые точки, особые кривые, особые решения. . . . 35

Лекция 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.1. Уравнения, не разрешенные относительно производной. 41

147

5.2.Теорема существования и единственности решения. . 44 Лекция 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1.Теорема существования и единственности решения для дифференциальных уравнений высших порядков. . 47

6.2.Линейные дифференциальные уравнения

n - го порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Лекция 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7.1. Общее решение линейного дифференциального

уравнения n - го порядка. . . . . . . . . . . . . 51

7.2.Формула Остроградского — Лиувилля. . . . . . . . 56 Лекция 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.1.Теорема об общем решении линейного неоднородного уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.2.Нахождение частного решения методом вариации произвольных постоянных. . . . . . . . . . . . . 60

8.3.Метод Коши нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

9.1.Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

спостоянными коэффициентами. . . . . . . . . . 65

9.2.Уравнения Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Лекция 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.1.Понятие о краевых задачах. . . . . . . . . . . . 71

10.2.Задача Штурма — Лиувилля. . . . . . . . . . . 74

148

Лекция 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 11.1. Функция Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

11.2Метод построения функции Грина. . . . . . . . . 83

11.3Физическая интерпретация функции Грина. . . . . 85

Лекция 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

12.1.Системы дифференциальных уравнений. . . . . . 86

12.2.Сведение системы дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению старшего

порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

12.3.Интегрирование систем дифференциальных уравнений путем нахождения интегрируемых комбинаций. . . 91

Лекция 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

13.1.Системы линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . 93

13.2.Метод вариации произвольных постоянных. . . . . 100

Лекция 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

14.1.Системы линейных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами. . . . . . . . . . 101

14.2.Простые корни характеристического полинома. . . 103

14.3.Кратные корни характеристического полинома. . . 104

Лекция 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

15.1.Теория устойчивости. . . . . . . . . . . . . . . 106

15.2.Основные определения и сведение задачи

кисследованию точек покоя. . . . . . . . . . . . 107

15.3.Простейшие типы точек покоя. . . . . . . . . . . 110

Лекция 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

149

16.1. Второй метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . 120

16.2.Исследование уравнений на устойчивость по первому приближению. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

16.3.Теорема Гурвица. . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Лекция 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

17.1.Уравнения в частных производных первого порядка. 131

17.2.Теорема Коши — Ковалевской существования и единственности решения уравнения в частных производных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

17.3.Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. . . . . . . . . . . 133

Лекция 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

18.1.Общее решение линейного уравнения в частных производных первого порядка. . . . . . . . . . . 138

18.2.Общее решение квазилинейного уравнения в

150