даишев лекция по дифурам

Правые части этих уравнений с точностью до первого порядка представим по формуле Маклорена:

x˙ = 2x + 8y + R1(x, y),

y˙ = −x − 3y + R2(x, y).

Следовательно, система первого приближения имеет вид:

x˙ = 2x + 8y,

y˙ = −x − 3y.

Характеристическое уравнение этой системы det (A − λE) = λ2 + λ+ 2 = 0, его корни λ1,2 = −1/2 ± i · 7/2. Легко видеть, что Reλ1 = Reλ2 = − 1/2 < 0. Решение x = 0, y = 0 является устойчивой точкой покоя.

ЛЕКЦИЯ 17

17.1. Уравнения в частных производных первого порядка

(17.1)

называется дифференциальным уравнением в частных производных m-го порядка относительно неизвестной функции u(x) ≡ u(x1, x2, ..., xn). Как и в обыкновенных дифференциальных уравнениях, порядок старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения. Рассмотрим некоторые примеры таких уравнений.

Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение

131

∂z(x, y) ∂x

Оно легко интегрируется, его решение имеет вид z = 12x2 + xy + ϕ(y), где ϕ(y) — произвольная функция y.

Пример 2.

∂2z = 1. ∂x∂y

Решение этого дифференциального уравнения также не вызы-

B(x) — произвольные функции указанных в скобках аргументов.

Примеры показывают, что общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию, а уравнение второго порядка

— две произвольные функции, и так далее...

Предположения нуждаются в строгом обосновании. С. Ковалевской была доказана следующая теорема существования и единственности решения уравнения в частных производных.

Прежде чем сформулировать эту терему, напомним опре-

данная функция может быть разложена в степенной ряд, сходящийся в некоторой окрестности этой точки к самой этой функции.

132

17.2. Теорема Коши — Ковалевской существования и единственности решения уравнения в частных производных

Теорема Коши — Ковалевской. Существует единствен-

являются аналитическими в окрестности точки M0 , а функция f в правой части уравнения является аналитической функцией в окрестности начальных значений своих аргументов.

Таким образом, решение определяется заданием начальных функций ϕ0(x2, ..., xn), ϕ1(x2, ..., xn), ... , ϕm−1(x2, ..., xn). Если мы их будем произвольно менять в классе аналитических функций, то получим совокупность аналитических решений исходного уравнения, зависящую от m произвольных функций. Иначе говоря, общее решение содержит m произвольных функций.

133

17.3. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка

Определение. Квазилинейным неоднородным уравнением в частных производных первого порядка называется уравнение вида

Это уравнение, линейное относительно производных, может не быть, однако, линейным относительно неизвестной функции z(x1, x2, ..., xn). Если Y ≡ 0, а Xi = Xi(x1, x2, ..., xn), то

0 называется линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка.

Для большей наглядности сначала целесообразно рассмот-

134

путём интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Поверхности, составленные из векторных линий, называются

F

N

N F

Рис. 26. Векторная поверхность Рис. 27. Векторная трубка

векторными поверхностями (рис. 26) данного векторного поля. Из векторных линий построим векторную трубку (рис. 27). Боковая поверхность векторной трубки, как и любой векторной поверхности, характеризуется тем, что в любой ее точке выпол-

— линейное однородное уравнение в частных производных относительно функции трех переменных u(x, y, z).

135

Если боковая поверхность векторной трубки определяется

нием (17.3).

Итак, чтобы найти уравнение боковой поверхности векторной трубки, необходимо проинтегрировать квазилинейное уравнение (17.3), когда мы ищем решение в явном виде z = z(x, y), или линейное уравнение (17.5), когда мы ищем решение в неявном виде u(x, y, z) = 0.

Для того чтобы решить уравнение (17.3) или (17.5), мы должны сначала найти векторные линии (так как векторные поверхности состоят из векторных линий), то есть решить вспомогательную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (17.4):

теграла системы (17.4), которые задают нам двухпараметрическое семейство векторных линий, называемых характеристиками уравнения (17.3) или (17.4). Но боковая поверхность векторной трубки состоит из однопараметрического семейства векторных линий. Для того чтобы из двухпараметрического семейства (α) с параметрами C1 и C2 выделить однопараметрическое семейство, мы должны задать зависимость (в общем случае произвольную) между этими параметрами: Φ(C1, C2) = 0.

136

Это означает, что искомое уравнение поверхности определяется соотношением

где Φ — произвольная функция своих аргументов, а (17.6) — общее решение уравнения (17.3).

Если требуется найти не произвольную векторную трубку

нения в частных производных), то функция Φ в соотношении (17.6) уже не может быть произвольной: переменные x, y, z, входящие в это выражение, должны одновременно удовлетворять и условиям (α), и уравнению кривой (β). Иначе говоря, они одновременно должны удовлетворять системе уравнений

Исключая x, y и z из этой системы, найдём конкретную

описывающая уравнение векторной поверхности, проходящей через заданную кривую (β).

137

ЛЕКЦИЯ 18

18.1. Общее решение линейного уравнения в частных производных первого порядка

Пусть задано линейное однородное уравнение первого порядка

138

Найдём n−1 функционально независимых первых интегралов:

В n-мерном евклидовом пространстве с декартовыми координатами (x1, x2, ... , xn) эта система определяет (n − 1)-пара- метрическое семейство кривых, называемых характеристиками уравнения (18.1).

Теорема 1. Левая часть любого первого интеграла

ψ(x1, x2, ..., xn) = C

системы вспомогательных уравнений (18.2) является решением исходного линейного уравнения (18.1).

Доказательство. Вдоль любой интегральной кривой си-

ходе от одной интегральной кривой к другой. Это означает, что наше тождество справедливо не только вдоль интегральной кривой, но и во всей области изменения переменных x1, x2, ... , xn.

139

А это, в свою очередь, означает, что ψ( x1, x2, ... , xn ) есть решение уравнения в частных производных (18.1).

Очевидно, что

Φ (ψ1(x1, x2, ..., xn), ψ2(x1, x2, ..., xn), ..., ψn−1(x1, x2, ..., xn)) = C,

где Φ – произвольная дифференцируемая функция, является первым интегралом вспомогательной системы (18.2), так как вдоль интегральной кривой все функции ψi(x1, x2, ..., xn) ≡ Ci. Значит, и функция Φ обращается в постоянную вдоль интегральной кривой. Но тогда

z = Φ (ψ1(x1, x2, ..., xn), ψ2(x1, x2, ..., xn), ... , ψn−1(x1, x2, ..., xn))

является решением линейного уравнения (18.1).

Теорема. 2. Функция

z = Φ (ψ1(x1, x2, ..., xn), ψ2(x1, x2, ..., xn), ... , ψn−1(x1, x2, ..., xn)) ,

где Φ – произвольная дифференцируемая функция, является общим решением уравнения (18.1).

Доказательство. Мы должны доказать, что любое решение ϕ(x1, x2, ..., xn) уравнения (18.1) при конкретном выборе функции Φ может быть записано в виде ϕ = Φ (ψ1, ψ2, ... , ψn−1) . Пусть z = ϕ(x1, x2, ..., xn) – любое решение уравнения (18.1). Тогда выполнено

Докажем, что существует функция Φ такая, что

ϕ(x1, x2, ..., xn) = Φ (ψ1, ψ2, ..., ψn−1) ,

140