Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat_analiz

.pdf

Скачиваний:

176

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3610 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Пример 29. Дана функция f

(x)=

x2 − 3x + 6

x +1

Выяснить существует или нет lim f (x).

x→1

Решение: Выберем произвольно последовательность {xn } такую,

чтобы x n ≠1, n N

и lim x n =1.

n→∞

На основании теоремы 8 о пределах последовательностей имеем

−3xn + 6

lim x2

−3 lim x

+ 6

lim f (xn )= lim

n→∞ n

n→∞

= 2 .

lim xn +1

n→∞

Так как lim f (xn )= 2 для любой произвольно выбранной последователь-

n→∞

ности {xn } сходящейся к 1, то существует предел данной функции при x →1 и

он равен 2:

lim

−3x + 6

= 2 .

x→1

x +1

Пример 30. Имеет ли функция

f (x)=

x3 −3x2 + 7x − 4

предел при x →1 ?

x2 −1

Решение. Выберем произвольно последовательность {xn } значений

аргумента x , сходящую к 1 и xn ≠1, n N . Тогда f (xn )=

xn3 − 4xn2 + 7xn − 4

и при

xn2 −1

xn →1 получается неопределенность вида

, теорема 8 не применима. Одна-

ко, если дробь

x3 − 4x2

+ 7x − 4

сократить на (x −1) что можно сделать при лю-

−1

бом значении x из окрестности точки 1

x3 − 4x + 7x − 4

(x −1)(x2 −3x + 4)

, то

x2 −1

(x −1)(x +1)

получится функция ϕ(x)=

−3x + 4

, которая совпадает с

f (x) во всех точках

x +1

окрестности точки 1, кроме самой точки 1.

А тогда lim f (x )= limϕ(x )= lim

x 2 −3x +4

= 2 (последний предел был най-

x →1

x +1

ден в примере 29).

Пример 31.				Пусть f			(x)= sin	1	. Выяснить, существует ли предел этой

								x
функции при x → 0 .
Решение. По условию x → 0 . Выберем последовательность{xn } зна-
чений аргумента x :
x n =			2	, n	N . Ясно, что xn ≠ 0, n N и
		π(2n +1)
lim x			= lim	2		= 0.
	n			(2n	+1)
n→∞			n→∞ π

Построим последовательность соответствующих значений данной функции {f (x n )}:

	1		π(2n +1)		π	n
f (x n )= sin		= sin		= sin πn +		= (−1) , n N .
	x n		2		2

Последовательность {f (x n )} с общим членом (−1)n предела не имеет.

Отсюда следует, что lim sin	1	не существует.
	x
x →0

Теорема 15 (о единственности предела функции).

Если функция имеет предел в точке, то он единственный. Доказательство. Проведем его от противного: предположим, что в

точке a функция f (x) имеет два различных предела A и B (A ≠ B). Тогда по определению 22 предела функции в точке a для любой последовательно-

сти {x n } такой, что x n ≠ a и x n → a , имеем lim f (x n )= A	и lim f (x n )= B .
n→∞	n→∞

Но в силу единственности предела последовательности (см. теорему 2) A должно быть равно B . Что противоречит предположению. Следовательно, предположение неверно. Таким образом, если функция имеет предел в точке, то он единственный. Теорема доказана.

Определение предела функции в точке через предел последовательности дано немецким математиком Гейне Г. (1821-1881). Существует другое определение предела функции в точке, оно дано французским математиком Коши.

Определение 23 (по Коши). Число A называется пределом функции f (x) в точке a , если для любого сколь угодно малого положительного числа

ε существует положительное число δ(ε) такое, что для всех

x ,

удовлетво-

ряющих неравенству 0 <

x − a

< δ(ε), выполняется неравенство

f (x)− A

< ε. .

Графически это означает, что при выбранном ε , точки графика функ-

ции f (x), то есть точки M (x, f (x)), находятся в прямоугольнике

(a −δ(ε); a +δ(ε))×(A −ε; A +ε)

и при x → a приближаются к точке M 0 (a, A) (см. рис. 38)

y=f(x)

A+ε

A–ε

a–δ(ε) a

a+δ(ε) x

Рис. 38

2. Односторонние пределы

Если при стремлении к

a значения

остаются меньше

a (x → a

x < a) , то говорят, что x стремится к a слева, и пишут x → a − 0 .

Если при стремлении к a значения x остаются больше a

(x → a

x > a) , то говорят, что x стремится к a справа, и пишут x → a + 0 .

В соответствии с этим

lim f (x)

называют пределом функции f (x)

x→a−0

точке

слева: lim f (x )= lim f (x )= f (a − 0),

lim f (x) называют пределом

x →a−0

x →a

x→a+0

x <a

функции f (x) в точке a

справа:

lim f (x)= lim f (x)= f (a + 0)

x→a+0

→a

Пределы функции в точке слева и справа называют односторонними пределами функции в точке.

Пример 32. Найти односторонние пределы функции

f (x)= x +1	при	x ≥1,	в точке а) x =1; б) x = −1 .
x2	при	x <1

lim f (x)= lim f (x).

x→a−0 x→a+0

Решение: а) рассмотрим случай , когда					x →1 − 0 . Это означает, что
x →1 и x <1, поэтому f (x)= x2		и
lim	f (x)= lim f (x)= lim x2 =1			и	f (1 − 0)=1
x→1−0	x→1		x→1
	x<1		x<1
Рассмотрим случай, когда x →1 + 0 .
Так как x →1 + 0 означает, что x →1 и x >1, то f (x)= x +1 и
lim f (x)= lim f (x)= lim(x +1)= 2				и	f (1 + 0)= 2 .
x→1+0	x→1		x→1
	x>1		x>1
Заметим, что f (1 + 0)= f (1), но f (1 + 0)≠ f (1 − 0).
На рис. 39 приведен график функции y = f (x).
б) Пусть теперь x → −1. Имеем lim f (x)= lim x2 =1 и lim = lim x2 =1.
			x→−1	x→−1	x→−1	x→−1
			x<−1	x<−1	x>−1	x>−1
В данном случае f (−1 − 0)= f (−1 + 0)=1.
		y
		2
		1
	–1	0	1	x

Рис. 39

Теорема 16. (Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке) Для существования предела функции f (x) в точке a

необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонние пределы в точке a и были равны между собой:

Доказательство предлагаем читателю провести самостоятельно.

В примере 32а функция	f (x) предела при	x →1 не имеет,	так как
f (1 − 0)≠ f (1 + 0), а в примере	32б функция f (x)	имеет предел,	так как
f (−1 − 0)≠ f (−1 + 0), и он равен 1: lim f (x)=1 .
	x→−1

при

f (x)

3. Предел функции на бесконечности

Пусть функция f (x) определена при всех x , удовлетворяющих нера-

венству x > a , где a - некоторое число.

Определение 24. Число A называют пределом функции x → ∞, если для любой последовательности {xn } такой, что x > a и

lim xn = ∞ , последовательность соответствующих значений функции {f (xn )}

n→∞

сходится к числу A (lim f (xn )= A)и пишут lim f (x)= A .
n→∞	x→∞
Если члены последовательности {xn }, положительные xn > 0 , то пишут

x → +∞ , если отрицательные xn < 0 , то пишут x → −∞ . Соответственно, рас-

сматривают односторонние пределы lim	f (x) и lim f (x).
x→+∞	x→−∞

Если односторонние пределы функции при x → ±∞ существуют и равны, то существует предел функции при x → ∞ и справедливо равенство

lim f (x)= lim f (x)= lim f (x). .

x→−∞

x→+∞

→∞

Примеры 33. Найти пределы:

а) lim

;

б) lim

; в)

lim

; г)

lim

x2 +

x2 +1

2 +1

x→+∞

x→−∞

x→∞

x2 +1

x→∞ x

Решение.

а) пусть произвольно выбранная последовательность {xn }

такова, что xn > 0 и lim xn = +∞ .

n→∞

Тогда

lim

= lim

lim

=1 .

x→+∞

x2 +

n→∞

xn2 +1

n→∞

1 +

n→∞

xn2

б) Пусть произвольно выбранная последовательность {xn } такова, что

xn < 0 и lim xn = −∞.

Тогда

lim

= lim

lim

−1

= −1.

x2 +

xn2 +1

x→−∞

n→−∞

xn 1 + xn2

1 + xn2

Следовательно,

lim

= −1.

x→−∞

в) Предел lim	x	+1	не существует, так как для различных последова-
x→∞	x2	+1
тельностей {xn } аргумента x таких, что xn					→ ∞ , пределы различны, что было
показано выше: lim	x		=1 и lim	x	= −1.
x→+∞	x2	+1	x→−∞	x2 +1

г) Пусть произвольно выбранная последовательность {xn } такова, что

lim xn = ∞ . В данном случае знак значений xn несущественен. Тогда

n→∞

lim

= lim

xn2

= lim

xn2

= lim

=1.

x→∞ x2 +1

n→∞ xn2 +1

n→∞

1 +

Таким образом,

lim

=1 .

x→∞ x2 +1

При вычислении пределов функций конкретный вид последовательностей {xn } значений аргумента x не пишут, за исключением особых случаев,

как например в примере 31, поэтому вместо xn записывают просто x . На-

пример, решение примера 33г будет записано следующим образом:

lim

= lim

x→∞ x2

n→∞

4.Бесконечно малые и бесконечно большие функции

исвязь между ними

Определение 25 . Функция f (x) называется бесконечно малой при

x → a , если lim f (x)= 0 .
x→a
Определение 26.	Функция	f (x)	называется бесконечно малой при
x → ∞, если lim f (x)= 0 .
x→∞
Определение 27.	Функция	f (x)	называется бесконечно большой при
x → a , если lim f (x)= ∞.
x→a
Определение 28. Функция		f (x)	называется бесконечно большой при
x → ∞, если lim f (x)= ∞ .
x→∞

Заметим, что функция f (x) в различных условиях, накладываемых на

аргумент, может быть как бесконечно малой функций, так бесконечно большой, и может не иметь ни одного из этих свойств. Например, известная

функция f (x)=			1	при x → 0 является бесконечно большой	функцией
			x

lim	1	= ∞; при	x → ∞ является бесконечно малой функцией: lim		1	= 0 ; а во
	x
x→0				x→∞ x

всех остальных случаях при x → a она не является ни бесконечно большой ни

бесконечно малой функцией: lim 1 = 1 , a ≠ 0 .

x→a x a

Теорема 17. (о связи бесконечно большой и бесконечно малой функ-

ций)
а) если функция f (x)	бесконечно большая при x → a , то функция ϕ			(x)=		1
а) если функция f (x)	бесконечно большая при x → a , то функция ϕ			(x)=	f	(x)
					f	(x)
является бесконечно малой при x → a ;
б) если функция ϕ(x)	бесконечно малая при x → a и ϕ(x)≠ 0 в окрестности
точки x = a , то функция f (x)=		1	является бесконечно большой при x → a
точки x = a , то функция f (x)=		ϕ(x)	является бесконечно большой при x → a
		ϕ(x)

Замечание. Утверждения теоремы справедливо и при x → ∞.

5. Теоремы о пределах функции

Основные теоремы о пределах функций аналогичны соответствующим теоремам последовательностей. Это следует из определения 1.22 предела функции по Гейне. Приведем теоремы о пределах функций без доказательства.

Теорема 18.

а) Если функция f (x) имеет при x → a конечный предел, равный числу

A , то она представима в виде f (x)= A +α(x), где α(x) бесконечно малая при

x → a ;

б) Если функция f (x) представима в виде f (x)= A +α(x), где α(x) бес-

конечно малая функция при x → a , то A = lim f (x).

x→a

f (x) ϕ(x)→ ∞.

Теорема 19. Если функции f (x) и g(x) имеют конечные пределы при

x → a , то

а)

lim(f (x)± g(x))= lim f (x)± lim g(x) ;

x→a

б)

lim f (x ) g(x )= lim f (x ) lim g(x );

x →a

в)

f (x)

lim f (x)

, если lim g(x)≠ 0 ;

lim

x→a

g(x)

lim g(x)

x→a

g(x )

lim g(x )

г)

lim

(f (x ))

x →0

, если пределы функций f (x) и g(x) при x → a

= lim f (x )

x →a

не равны нулю одновременно.

Следствие. если c

= константа, то lim cf (x)= c lim f (x), то есть постоян-

x→a

ный множитель можно вынести за знак предела.

Теорема 20. Если функции f (x) и g(x) бесконечно большие при x → a ,

то

а)	при f (x )→ +∞ и g(x)→ +∞	f (x )+ g(x )→ +∞;
б)	при f (x)→ −∞ и g(x)→ −∞	f (x)+ g(x)→ −∞ ;
в)	при f (x)→ +∞ и g(x)→ −∞	f (x )− g(x )→ +∞;
г)	при f (x)→ −∞ , и g(x)→ +∞	f (x )− g(x )→ −∞;

д) f (x) g(x)→ ∞;

е) если ϕ(x) ограничена и не равна нулю в окрестности точки x = a и не явля-

ется бесконечно малой, то

Теорема 21. Произведение бесконечно малой функции при x → a на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая:

Замечание: Разность двух функций бесконечно больших при x → a , имеющих значения одинаковых знаков, неопределена; неопределены также частное двух бесконечно больших функций, частное двух бесконечно малых функций, произведение бесконечно малой и бесконечно большой функций.

f (x)≤ g(x)

В этом случае говорят о неопределенностях вида ∞ −∞,	∞	,	0	и 0 ∞ .
	∞		0

Для нахождения предела выражения следует раскрыть соответствующую неопределенность.

Теорема 22. (о предельном переходе в неравенстве). Пусть

для всех x из некоторой окрестности точки a , кроме , может быть, самой точки a , и пусть существуют конечные пределы этих функций в точке a , тогда справедливо неравенство

lim f (x)≤ lim g(x).
x→a	x→a

Теорема 23. (о сжатой переменной). Пусть даны три функции, определенные в некоторой окрестности точки a , кроме, может быть, самой точки a , и связанные соотношением

f (x)≤ z(x)≤ g(x).

Если существуют конечные пределы при x → a функций f (x) и g(x) и они

равны между собой, то функция z(x) имеет конечный предел при x → a и он
равен пределу функций f (x) и g(x): lim f (x)= lim z(x)= lim g(x).
x→a	x→a	x→a

Теорема 24. (о пределе монотонной ограниченной функции). Если монотонная функция ограничена, то она имеет конечный предел.

Теорема 25 (о пределах простейших элементарных функций)

Предел простейшей элементарной функции в каждой точке области

определения равен ее значению в этой точке: lim f (x)= f (a)

x→a

Например, lim x3 = 23 = 8;		lim x3	=13		=1;	lim x3 = 03 = 0;
x→2		x→1				x→0
lim log3 x = log3 1 = 0;	lim log3 x = log3			3 =1;		lim log3 x = log3 9 = 2;
x→1	x→3					x→9
lim sin x = sin 0 = 0;	lim sin x = sin π		=	1	; lim sin x = sin π = 0;...
lim sin x = sin 0 = 0;	lim sin x = sin π		=	2	; lim sin x = sin π = 0;...
x→0	x→ 6	6		2	x→π
x→0	π				x→π

Напомним, что к простейшим элементарным функциям относят функции :

xa , a x , log x, sin x, cos x, tg x, , ctg x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

Замечание. Все теоремы о пределах функций при x → a справедливы и при x → +∞, x → −∞, x → ∞.

Теорема 26. (о пределе сложной функции). Если определена сложная

функция F (f (x)) и существуют конечные

lim f (x)= A и

lim F (y)= B , то суще-

x→a

y→A

ствует предел lim F (f (x))= lim F (y)= B .

x→a

y→A

Примеры 34. Найти следующие пределы:

а) lim x2 −10

;

б) lim

x2 − 25

;

в)

lim

3x + 2 x

;

x2 − 4x −

3x+1 − 2 x

x→4

x + 4

x→5

е)

x→+∞ 2

г) lim 3x + 2 ;

д) lim (x +1)sin x ;

lim(10x − 4)x .

x→3

x→∞

x2 −9

x2 + 3x +1

x→2

Решение а) По теоремам 19 и 25 имеем

x2 −10

lim(x2 −10)

=1 .

lim

x→4

x + 4

lim( x + 4)

x→4

б) В числителе и знаменателе дроби

− 25

находятся функции бес-

x2 − 4x −5

конечно малые при x → 5 , и под знаком предела при этих условиях получает-

ся неопределенность вида 00 . Раскроем ее, используя тождественные преоб-

разования и теорему 25:

lim

x2 − 25

= lim

(x −5)(x + 5)

= lim

x + 5

x2 − 4x −5

(x −5)(x +1)

x→5

x +1 6

в) Числитель дроби

3x + 2x

при x → +∞ является бесконечно боль-

3x+1 − 2x

шой функцией, так как 3x → +∞,

→ +∞ и по теореме 20а о сумме двух бес-

конечно больших функций одного знака 3x2

+ 2x

→ ∞. В знаменателе также

находится бесконечно большая функция:

x+1

2 x

2 3

− 2

= 6 3

− 2

= 3

−

→ ∞

;

она является произведением ограниченной и бесконечно большой функций

(см. теорему 20е). Получается неопределенность вида ∞∞ . Раскроем ее, ис-

пользуя теорему 19 о пределах суммы, произведения и отношения двух функций:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3610 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.04.20192 Мб63Leblanc_Lupin_M.doc
#
01.07.2025175 Кб3Lektsia мат..docx
#
20.04.2019155 Кб84Lektsii_po_gos_upravleniyu_i_politike.docx
#
20.09.2019390 Кб299lexicologie.doc
#
10.02.20154 Мб705Lysikova_O_V_Muzei_mira_Uchebnoe_posobie_-_M.pdf
#
10.02.20153 Мб176mat_analiz.pdf
#
25.09.20191 Мб59mat_logika.doc
#
10.02.2015119 Кб9metod_ukaz_2013.docx
#
10.02.201562 Кб10metod_ukazania_po_kursovoy.doc
#
01.04.2025104 Кб3Metodi4eskie_rekomendacii.doc
#
23.08.201959 Кб10metodich_ukaz_k_kurs_rabotam_osn_biznesa.docx