Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat_analiz

.pdf

Скачиваний:

176

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 369 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Решение. Ряд

∞

есть сумма всех натуральных

∑n =1 + 2 +3 +L+ n +L

n=1

чисел. Ясно, что lim Sn = ∞ . Действительно, Sn

+ 2 + K + n =

n(n +1)

, здесь Sn -

сумма n правых членов арифметической последовательности.

lim Sn

= lim

n(n +1)

= ∞ , а это означает, что данный ряд расходится.

n→∞

Пример 25. Исследовать на сходимость ряд

∞

∑aqn−1

(14)

n=1

∞

−1 = a + aq + aq2 +K+ aqn−1 +K называют рядом гео-

Решение. Ряд ∑aq n

n=1

метрической прогрессии, где a - первый её член,

q - знаменатель. Параметры

ряда (14) a и q могут иметь различные значения.

Если a = 0 , то ряд (14) имеет вид 0 + 0 +K+ 0 +K,

= 0 + 0 +K+ 0 = 0 и

14243

lim Sn

= lim 0 = 0 . Ряд (14) сходится и его сумма

S = 0 .

n→∞

Если q = 0 , то ряд (14) имеет вид a + 0 + 0 +K+ 0 +K,

= a + 0 +K+ 0 = a

14243

n−1

и lim Sn = lim a = a . Ряд (14) сходится и его сумма

S = a .

n→∞

Будем считать, что a ≠ 0 и q ≠ 0 .

Если q =1 , то ряд (14) имеет вид a + a +K+ a +K,

= a + a +K+ a = na и

14243

lim Sn

= lim na = ∞ . Ряд (14) расходится.

n→∞

Если

q = −1, то

ряд

(14) имеет вид

a − a + a − a +K+ (−1)n−1 a +K и

Sn = a − a + a − a +K+ (−1)n−1 a =

a, если n нечётное,

lim Sn не

существует. Ряд

0, если n чётное

n→∞

(14) расходится.

Рассмотрим теперь вопрос сходимости ряда (14) при

a ≠ 0 и q ≠ 0 ,

q ≠ ±1 . В этом случае частичная сумма Sn ряда (14) имеет вид

S n	= a + aq + aq 2 +K+ aq n−1 =	a (1 − q n ).
		1 −q

Учитывая свойства показательных функций, получим:

a (1 − qn )

если

− q

lim Sn = lim

= 1

1 − q

n→∞

∞, если

Таким образом, ряд геометрической прогрессии (14) сходится только

при

<1 и его сумма равна

− q

∞

∑aqn−1 =

, если

<1 .

1 − q

n=1

Определение 21.

Пусть ряд

∞

сходится и S его сумма, S n – n -ая

∑an

n=1

частичная сумма. Разность rn = S − Sn

называют n − ым остатком данного ряда.

Остаток ряда, также является рядом:

∞

rn = S − Sn = (a1 + a2 +L+ an + an+1 + an+2 +L)− (a1 + a2 +L+ an )= an+1 + an+2 +L= ∑ak

k =n+1

Основные свойства числовых рядов.

1)Сходимость или расходимость ряда не изменится, если добавить или отбросить конечное число его членов.

2)Ряд и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

3)Если ряд сходится, то его члены можно группировать в порядке их следования. Полученный ряд сходится и его сумма равна сумме исходного ряда.

∞	сходится и	S - его сумма, то ряд	∞
4) Если ряд ∑an	сходится и	S - его сумма, то ряд	∑c an , где c - число
n=1			n=1
действительное, тоже сходится и его сумма равна c S.
∞	сходится и		∞	сходится и S b его
5) Если ряд ∑an	сходится и	S a его сумма, и ряд ∑bn		сходится и S b его
n=1		n=1
∞	±bn ) сходятся и их суммы равны Sa ± Sb соответственно.
сумма, то ряды ∑(an	±bn ) сходятся и их суммы равны Sa ± Sb соответственно.
n=1
	∞	∞	∞
6) Если один из рядов ∑an и ∑bn расходится, то			∑(an ±bn ) расходится.
	n=1	n=1	n=1

∞	∞	∞
7) Если оба ряда ∑an	и ∑bn	расходятся, то ряды ∑(an ± bn ) могут ока-
n=1	n=1	n=1

заться как сходящимися, так и расходящимися.

Исследовать ряды на сходимость (расходимость), вычисляя частичные суммы и их пределы, как правило, затруднительно, поэтому используют некоторые признаки, по которым можно делать выводы о сходимости или расходимости рассматриваемого ряда. Приведем некоторые из них:

∞

1) Необходимый признак сходимости ряда: если ряд ∑an сходится,

n=1

то его общий член an стремится к нулю при n → ∞.

Следствие. Если an не стремится к нулю при n → ∞, то ряд расходится.

Однако из того, что общий член ряда стремится к нулю при n → ∞, ещё не следует сходимость ряда.

∞

Например, общий член гармонического ряда ∑

=1 +

+L+

n=1 n

an =

стремится к нулю при n → ∞, но ряд расходится.

Замечание. Гармонический ряд есть частный случай так называемых

∞

обобщенно гармонических рядов ∑

, , где p - число, которые при p

>1 схо-

n=1

дятся, при p ≤1 расходятся.

2) Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то последовательность его частичных сумм {Sn } ог-

раничена.

Следствие. Если последовательность частичных сумм {Sn } ряда неог-

раниченна, то ряд расходится.

Однако из ограниченности последовательности {Sn } не следует сходи-

мость ряда. Например, ряд геометрической прогрессии (14) при q = −1 расхо-

дится,				хотя и имеет ограниченную последовательность частичных сумм
	Sn	≤	a		(см. пример 25).

5) Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

∞

Пусть дан ряд ∑an и пусть среди его членов бесконечное число, как

n=1

положительных так и отрицательных членов. Такой ряд называют знакопеременным рядом. Наряду со знакопеременным рядом рассматривают ряд составленный из абсолютных величин его членов, так называемый «абсо-

∞

лютный» ряд данного ряда: ∑ an .

n=1

3) Необходимый и достаточный признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то его n -ый остаток rn стремится к нулю при n → ∞, и если n -ый остаток rn ряда стремится к нулю при n → ∞, то ряд сходится.

4) Достаточный признак сходимости положительного ряда [при-

знак Даламбера [Д’Аламбер Жан Лерон (16.11.1717-29.10.1783) – французский математик].

∞

Если для ряда ∑an с положительными членами (an > 0, n N ) суще-

n=1

ствует предел lim an+1 = q , то при q <1 ряд сходится,

n→∞ an

Если lim an+1

n→∞ an

при q >1 ряд расходится,

при q =1 вопрос о сходимости (или расходимости)

ряда остаётся открытым, для решения этого вопроса требуются дополнительные исследования.

= ∞ , то ряд расходится.

Теорема 13. (об абсолютной сходимости ряда). Если сходится абсо-

∞ ∞

лютный ряд ∑ an , то сходится и знакопеременный ряд ∑an .

n=1

Замечание. Если сходится абсолютный ряд знакопеременного ряда, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Приведенный признак (теорема 13) является лишь достаточным, поэтому, если абсолютный ряд расходится, то вопрос о сходимости или расходимости знакопеременного ряда остаётся открытым, в этом случае требуется дополнительные исследования.

6)Необходимый и достаточный признак сходимости знакочере-

дующегося ряда (признак Лейбница) [Лейбниц Готфрид Виль-

гельм (01. 07. 1646 – 14. 11. 1716) - немецкий математик].

Ряд называется знакочередующимся, если каждые два соседних члена ряда имеют значения различных знаков.

Теорема 14 (признак Лейбница – признак сходимости знакочередующегося ряда).

Если общий член знакочередующегося ряда стремится к нулю при n → ∞ и его абсолютная величина убывает, то ряд сходится.

∞	удовлетворяет условиям теоремы Лейб-
Следствие. Если ряд ∑an	удовлетворяет условиям теоремы Лейб-
n=1

ница, то абсолютная величина остатка ряда rn меньше абсолютной величи-

ны его первого члена:

S − Sn

an+1

(15)

Из неравенства (15) следует Sn −

an+1

< S < Sn +

an+1

, что можно запи-

сать иначе S = Sn ± an+1 . Следовательно, можно приближенно найти сумму ряда, вычисляя его n − ую частичную сумму S ≈ Sn , абсолютная погреш-

ность такого приближения не превышает значения an+1 , то есть абсолют-

ной величины первого отбрасываемого члена ряда.

Примеры 26. Используя признак Даламбера, выяснить сходимость

или расходимость положительных рядов:

а) ∑n +n 4 ;

б) ∑5 n − 2

;

в) ∑ n .

∞

n=1 2

n=1 3 +1

n=1

n2 + 4

∞

n + 4

(n +

1)+ 4

n + 5

Решение. а) Ряд ∑

имеет an

и an+1

n+1

n=1

Вычислим

n+1

= lim

n + 5

n + 4

= lim

(n + 5)2n

= lim

Таким

lim

2n+1

2n+1 (n +

n + 4

n→∞

образом,

lim

an+1

Обозначим q =

Так как

q =

<1, то по признаку

n→∞

Даламбера ряд сходится.

∞

− 2

n+1

− 2

б) Ряд ∑

имеет an =

an+1 =

. Вычислим

n+1

n=1

an+1

5n+1 − 2 5n − 2

(5n+1 − 2)(3n +1)

n+1

−

5n+1

n→∞

3n+1 +1 3n

n→∞ (3n+1 +1)(5n − 2)

n→∞

3 1 +

n+1

lim

= lim

1 +

1 −

3n+1

−

5n+1

= lim

;

q =

n→∞ 3

−

3n+1

Так как q =

1 , то по признаку Даламбера следует, что ряд расходится.

∞

имеем an

и an+1 =

n +1

. Вычислим

в) Ряд ∑

n=1

n2 + 4

(n +1)2 + 4

an+1

n +1

(n +1) n 2 + 4

1 +

n 2

lim

= lim

(n +1)2 + 4

n2 + 4

(n +1)2 + 4 n

n→∞

n 2

= lim

=1,

q =1.

1 2

n→∞

n 2

Решить вопрос о сходимости данного ряда по признаку Даламбера не уда-

лось. Найдём	lim an = lim		n	= lim	n		= lim	1		=1	. Так как об-
					4			4
	n→∞	n→∞ n2 + 4		n→∞			n→∞
				n	1 +		1	+
						n2			n2

щий член an не стремится к нулю при n → ∞, то ряд расходится по следст-

вию к необходимому признаку сходимости ряда. Пример 27. Исследовать на сходимость ряды:

а) ∑(−1n)

; б) ∑(−1)

∞

n+1

n=1

∞

(−1)

Решение. а) Данный ряд ∑

является знакопеременным. Его

n=1

∞

абсолютный ряд имеет вид

∑

Воспользуемся признаком Даламбера

n=1 4

для выяснения сходимости абсолютного ряда: an

an+1 =

4n+1

lim

an+1

= lim

4n+1

n→∞ an

n→∞

Так как q =			1	<1, то абсолютный ряд сходится. По теореме 13 и данный
Так как q =				<1, то абсолютный ряд сходится. По теореме 13 и данный
		4
знакопеременный ряд сходится.
				∞	(−1)	n+1
		б) Абсолютный ряд ряда ∑			(−1)		является гармоническим рядом
		б) Абсолютный ряд ряда ∑			n		является гармоническим рядом
				n=1	n
∞
∑	1	и он расходится. Сделать в этом случае вывод о сходимости данного
∑
n=1 n

знакопеременного ряда нельзя, требуются дополнительные исследования. Заметим, что данный ряд является знакочередующимся, и его общий член

an =

(−1)n+1

удовлетворяет

условиям теоремы Лейбница

14, а

именно,

(−1)n+1

lim an = lim

= 0 и

an+1

для всех n N , так как

n→∞

∞

(−1)

n+1

n +1

Следовательно, ряд ∑

сходится.

n=1

∞

(−

n+1

Пример 28. Найти приближенно сумму ряда ∑

, заменив

(n −1)! 10

n−1

n=1

ее 4-ой частичной суммой, и оценить погрешность полученного приближения.

Решение. Данный ряд сходится, так как удовлетворяет условиям теоремы Лейбница 14. Обозначим через S его сумму, тогда получим

∞

(−1)

n+1

S = ∑

=1 −

−

+L.

(n −1)! 10

n−1

2! 10

3! 10

4! 10

5! 10

n=1

Вычислим S4 : S4 =1 −101 + 2 101 2 − 6 101 3 = 0,9048334 . По следствию теоремы Лейбница абсолютная погрешность приближения Sn не превосходит абсо-

лютной величины первого отбрасываемого члена ряда an+1 , в данном слу-

чае

S − S4

≤

. Так как a5 =

= 0,000005 , то

S − S4

4! 104

S − 0,048334

≤ 0,000005 .

Таким образом, имеем

S = 0,9048334 ± 0,000005 или,

после округления получим S = 0,90483 ± 0,00001.

Задания для самостоятельной работы.

1. Вычислить пять первых членов следующих последовательностей {xn }:

xn =

(−1)n

+ (−1)n

;

xn =1

cos

nπ

; 3)

xn =

n +1

2. Какие из следующих последовательностей {xn } являются ограничен-

ными, неограниченными, бесконечно малыми, бесконечно большими:

1) xn =	n	; 2) xn =	1	; 3) xn = 2 n ; 4) xn = (−1)n n2 ; 5) xn = n(−1)n .
	n +1		n !

3. Какие из следующих последовательностей {xn } являются возрастаю-

щими, убывающими или не обладающими ни одним из указанных

свойств?

1) xn =

2n +1

;

xn =

2n −1

;

3) xn =

2n + (−1)n

;

4) xn

= tg

;

3n + (−3)n

;

6) x1 =

2, xn =

2 + xn−1

при

n ≥ 2 .

4. Найти пределы:

1) lim

5n +1

;

2) lim

+ 4n +1

;

3) lim

2n2 + n −1

;

4) lim

+ 4n + 5

;

1 − n −3n2

n +8

n→∞

n→∞ n5 + 2n −5

n→∞

−n

n n

+ 7

5n + 7

5) lim(3 + 2

) 1 +

;

lim

;

lim

;

8) lim

;

3n −5

n→∞

n→∞ 6n n + 4

n→∞

;

11)

;

−

9) lim

−1

;

10) lim

n +

lim

n→∞ n

12) lim(

+ 2n + 3 −

n2 + n −1 ); 13) lim

;

(n +1)!+n!

n→∞

1 +

+L+

1 + 2 + 3 +L+ n

14) lim

3n−1

; 15)

lim

;

1 + 3n + n

n→∞

+L+

5n−1

1 n2

16) lim 1 +

;

17) lim 1

;

18) lim 1 +

n→∞

5. Исследовать на сходимость следующие ряды:

2) ∑ n + 3 ; 3) ∑n

+ 5 ;

4) ∑3

(n + 5); 5) ∑(−1)

n(n+1)

1) ∑ n

;

∞

n=1

3 (n + 4)

n=1

2n + 7

n=1

2n +1

n=1

∞

3n+1

∞

+ 5n +1

∞

6) ∑

(−1)

; 7) ∑(−1)n+1

; 8)

∑

(−1)n

; 9)

∑(−1)n

;

n + 5

4n +

(2n +1)!

n=1

10) ∑(−1)n+3

n + 4 .

∞

n=1

n +3

6. Найти суммы следующих рядов:

∞

(−1)n+1

∞ 3

1) ∑

;

2) ∑

;

3) ∑

n=1

n=1 2

∞

n+1

7. Найти приближенно сумму ряда

∑

(−1)

, заменив ее 4-ой частичной

n=1

суммой. Оценить погрешность такого приближения.

Ответы: 1. 1)	−1, 1	1	, −	1	, 1	1	, −	1	;	2) 1,	1	, 1, 1	4	, 1;	3)	1, 1	1	, 2, 3	1	, 5	1	.
		2		3		4		5			3		5				3		5		3

2. 1) ограниченная, но не является бесконечно малой; 2) ограниченная, бесконечно малая; 3) неограниченная, бесконечно большая; 4) неограниченная, бесконечно большая; 5) неограниченная, но не является бесконечно большой. 3. 1) убывающая; 2) возрастающая; 3) не является ни убывающей, ни возрастающей; 4) убывающая; 5) не является ни убывающей, ни возрастающей; 6) возрастающая.

4. 1) 5 ;	2) ∞;			3) −	2	;	4) 0;			5) 3;	6)		1	; 7) 0;	8) ∞;	9) 0; 10) 1;
					3								6

11) ∞;	12)	1	;	13) 0;			14) 1	1	;	15)	1	;		16) e3 ;	17) ∞;	18) 1.
		2						5			2

делом функции

lim xn = a , то гово-

x→∞

5. 1) сходится;				2) расходится; 3) сходится; 4) расходится; 5) сходится абсо-
лютно;	6) сходится абсолютно; 7) расходится; 8) сходится, но не абсолют-
но; 9) сходится абсолютно; 10) расходится.
6. 1) 5;	2)	1	;	3) 4.	7. 0,80 ± 0,05 .

	3

§5. Предел функции

1.Определение предела функции в точке

Пусть a некоторое число. Произвольно выбирая бесконечно много чисел из окрестности a , кроме самого a , можно построить последовательность {xn } значений переменной x .

Если последовательность {xn } сходится к a , то есть

рят, что переменная x стремится к a , и пишут x → a .

Определение 22. Пусть функция f (x) определена в некоторой окрест-

ности точки a , кроме, может быть, самой точки a . Число A называют пре- f (x) в точке a (или пределом функции f (x) при x стремя-

щемся к a ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента {xn }, xn ≠ a , сходящейся к a , последовательность соответствующих

значений функции {f (xn )}сходится к числу A , то есть lim f (xn )= A . В этом

n→∞

случае пишут lim f (xn )= A или f (x)→ A при x → a .

x→a

Если хотя бы для двух различных последовательностей {xn(1)}, {xn(2)}, ар-

гумента x сходящихся к a , пределы последовательностей соответствующих значений функций {f (xn(1) )} и {f (xn(2) )}различны, то функция f (x) в точке a предела не имеет.

Если хотя бы для одной последовательности {xn }, сходящейся к а, по-

следовательность {f (xn )} предела не имеет, то функция f (x) в точке a преде-

ла не имеет.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 369 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.04.20192 Мб63Leblanc_Lupin_M.doc
#
01.07.2025175 Кб3Lektsia мат..docx
#
20.04.2019155 Кб84Lektsii_po_gos_upravleniyu_i_politike.docx
#
20.09.2019390 Кб299lexicologie.doc
#
10.02.20154 Мб705Lysikova_O_V_Muzei_mira_Uchebnoe_posobie_-_M.pdf
#
10.02.20153 Мб176mat_analiz.pdf
#
25.09.20191 Мб59mat_logika.doc
#
10.02.2015119 Кб9metod_ukaz_2013.docx
#
10.02.201562 Кб10metod_ukazania_po_kursovoy.doc
#
01.04.2025104 Кб3Metodi4eskie_rekomendacii.doc
#
23.08.201959 Кб10metodich_ukaz_k_kurs_rabotam_osn_biznesa.docx