mat_analiz

2

x

2

x

x

3

x

+ 2

x

3

1

+

1

+

1

3

lim

= lim

3

=

lim

=

.

3x+1 − 2x

x

6

x→+∞ 2

x→+∞

x

2

x

x→+∞

2

3

6

−

6 −

3

3

г) lim

3x + 2

= lim(3x + 2)

1

= ∞.

x2 − 9

x2 −

9

x→3

x→3

Действительно, функция (3x + 2)

ограничена в окрестности точки x = 3 ; а

функция x2

−9 является бесконечно малой при x → 3 , поэтому

1

есть бес-

x2

−9

конечно большая, а произведение ограниченной и бесконечно большой

функции есть бесконечно большая функция (см. теоремы 17 и 20е).

д) lim

(x +1)sin x

= lim

x +1

sin x . Имеем

1

x→∞ x2 + 3x +1

x→∞ x2 + 3x +

1

1

x 1

+

x +1

x

1 + x

lim

= lim

= lim

= 0 .

3x +1

3

1

1

x →∞ x 2 +

x →∞

x

2

x →∞

+

3

+

1 +

+

1

x

x

x 2

x 2

малой и ограниченной функций получим

lim

x +1

sin x = 0 .

+ 3x +1

x→∞ x2

е) Так как lim(10x − 4)=16 и lim

1

=

1

, то по теореме 19г получим

x

2

x→2

x→2

1

lim

1

1

lim(10x − 4)x

= (lim(10x − 4))x→2 x

=16 2 = 4 .

x→2

x→2

lim

sin x

=1

(16)

x→0 x

Доказательство. Рассмотрим случай, когда x → 0 и

x > 0 , то есть

x → 0 + 0 . Для

0 < x <

π

справедливо неравенство sin x < x < tg x

. Поделив его

2

на sin x (здесь sin x > 0 ), получим неравенство 1 <

x

<

1

,

которое равно-

sin x

cos x

сильно неравенству

1

<

sin x

<1. Так как

lim cos x =1, то по теореме 23 о

cos x

x

x→0

пределе сжатой переменной находим 1 ≤ lim

sin x

≤1 , то есть

lim

sin x

=1 .

x→0

x

x→0

x

x>0

lim

sin x

= lim sin x

= lim

sin(− y)

= lim

−sin y

= lim sin y

=1

x→0−0

x

x→0

x

−y →0

− y

y →0

− y

y →0

y

x<0

y >0

y >0

y >0

гда существует предел lim

sin x

=1 . Что и требовалось доказать.

x→0

x

Следствия первого замечательного предела

lim

1 − cos x

=

1

(17 а)

x→0

x2

2

lim

tg x

=

1

(17 б)

x→0 x

lim

arcsin x

=1

(17 в)

x→0

x

lim

arctg x

=1

(17 г)

x→0

x

Второй замечательный предел:

+

1

x

= e

(18)

lim 1

x

x→∞

данной главы доказано, что предел

1

n

lim 1

+

= e .

n

n→∞

Обозначим n = [x]

,

где [x]

-целая часть числа x . Так как справедливо

неравенство n ≤ x ≤ n +1 , то справедливо неравенство

1

n

1

x

1 n+1

1

+

≤ 1

+

≤ 1 +

для любого x >1.

n +1

x

n

1 n

1

n+1

1

n

1

lim 1 +

= e

и lim 1

+

= lim 1

+

lim 1

+

= e .

n +1

n→∞

n +1

n→∞

n←∞

n

n→∞

n

По теореме 23 о пределе сжатой переменной имеем

1 x

= e

lim 1 +

x

x→+∞

Рассмотрим теперь случай, когда

x → −∞ .

Введем новую переменную

1

x

1

−1−y

− y

−1−y

1

+

y

y+1

+

=

+

= lim

=

=

lim 1

x

lim 1

lim

y

x→−∞

y→+∞

−1 − y

y→+∞

−1 − y

y→+∞

1

y+1

1

y

1

= lim

1

+

= lim 1

+

lim 1

+

= e

y←+∞

y

y→+∞

y

y→+∞

y

1

x

lim 1

+

= e

x

x→∞

1

lim(1 + x)

x

= e

(19

а)

x→0

lim

ln(1 + x)

=1

(19

б)

x→0

x

lim

e x

−1

=1

(19 в)

x

x→0

Решение: а) При x → 0

под знаком предела имеем неопределен-

ность вида

0

. Умножим числитель и знаменатель на

4 + sin x + 2

и, проведя

0

тождественные преобразования, получим, что

lim

4 +sin x − 2

= lim (

4 +sin x − 2)( 4 + sin x + 2)

= lim

sin x

=

x→0

x

x→0

x(

4 +sin x + 2)

x→∞ x( 4 +sin x + 2)

= lim sin x

lim

1

=1

1

= 1

x→0

x

x→0

4 +sin x + 2

4

4

б) При x → 5 под знаком предела имеем неопределенность вида

0

. Положим

0

x −5 = y , тогда

y → 0 при

x → 5 . сделав замену переменной под знаком пре-

дела, найдем предел:

lim

sin(x −5)

= lim

sin y

= −1 .

5 − x

x→5

y→0 − y

1

в) lim(1 + x)

. В данном случае под знаком предела при x → 0 имеем неопре-

sin x

x→0

По следствию

второго

замечательного

предела

(формула (19а) имеем

1

x

1

lim(1 + x)

= e , а

lim

= lim

=1 . Отсюда получаем, что

x

sin x

sin x

x→0

x→0

x

→0

x

1

x

1

lim

x

lim

(1 + x)

sin x = lim (1

+ x)

x→0 sin x = e1 = e .

x

x

x→0

x→0

Справедливость действий обусловлена теоремой 19г.

г) При x → ∞ под знаком предела

tg

1

имеем неопределенность вида

lim x e

x −

1

x→∞

∞ 0 . Введем новую переменную

y =

1

,

тогда

y → 0

при x → ∞. Сделаем за-

x

мену переменной под знаком предела:

tg

1

1

tgy

etgy −1

(etgy −1) tg y

etg y −1

tg y

x

(e

−1)= lim

lim x

e

−1

= lim

y

y

= lim

tg y y

= lim

y

y→0

y→0

y→0

tg y

x→∞

y→0

Найдем lim

etgy −1

, для чего введем новую переменную z = tgy . которая стре-

y→0 tgy

мится к нулю при y → 0 .

Тогда получим, что:

lim

etgy −1

= lim

e z −1

=1

tgy

z

y→0

z→0

tg

1

= lim

etgy −1

tgy

= lim

etgy −1

lim

tg y

=1

1

=1.

lim x e

2

−1

tgy

y

tg y

y

x→∞

y→0

y→0

y→0

lim

α(x )

= A , A ≠ 0.

β(x )

P

бесконечно малой

x при x → 0

а)

lim

sin 5x

= lim

5sin 5x

= 5 lim

sin 5x

= 5 1 = 5 .

Следовательно,

величина

5x

x→0

x

x→0

x→0 5x

α(x)= sin 5x

бесконечно малая одного порядка малости с бесконечно малой

величиной β(x )= x

при x → 0 .

б) lim

x3

= lim x2 = 0 . Следовательно, величина ϕ(x )= x 3 , есть бесконечно малая

x→0 x

x→0

x → 0 .

в)

lim

2x = lim

2 = ∞. Следовательно, величина γ(x)=

2x есть бесконечно

x→0

x

x→0

x

малая низшего порядка малости по сравнению с β(x )= x

при x → 0 .

г)

lim

ln(1 + x)

=1 (см. формулу (19б)). Следовательно, величина ln(1 + x) и x яв-

x→0

x

а)

sin ax

~ ax ;

б)

tg ax

~ ax ;

в) arcsin ax ~ ax ;

г)

arctg

ax ~ ax ;

д)

ln(1 + ax)~ ax ;

(20)

е)

1 + x −1 ~

1 x ;

2

ж)

eax −1 ~ ax ;

з)

1 − cos x ~

1

x 2 .

2

Таким

образом, имея эквивалентные бесконечно

малые величины,

а)

sin ax

≈ ax ;

б)

tg ax

≈ ax ;

д)

ln(1 + ax)≈ ax ;

(21)

е)

1 + x ≈1 + 1 x ;

2

ж)

eax

≈1 + ax ;

з)

cos x ≈1 −

1

x2 .

2

Пример 37 Вычислить значения а) 1,01 ;

б)

0,97

; в) e0,1 .

Решение. а) Введем

в рассмотрение

функцию f (x)= 1 + x

Тогда

1,01 =

1 + 0,01 = f (0,01).

По

формуле

(1.21

е)

)

1 + x ≈1 + 1 x

получаем,

что

2

1,01 =

1 + 0,01 ≈1 + 1 0,01 =1 + 0,005 =1,005 .

2

Для сравнения приведем значение взятое из таблиц

1,01 =1,0049875

б) В этом случае имеем

0,97 = 1 − 0,03 =

1 + (− 0,03) = f (− 0,03),

где

f (x)= 1 + x .

Следовательно, по

формуле (1.21 е) , при x = −0,03 получаем, что

0,97 = 1 + (− 0,03) ≈1 +

1 (−0,03)

=1 − 0,015 = 0,985

2

Табличное значение равно 0,984885

в)

e0,1 = f (0,1),

где

f (x)= e x .

По

формуле

(21

ж)

при x = 0,1

имеем

e0,1

≈1 + 0,1 =1,1. Из таблиц известно, что e0,1

≈1,1052 .

Замечание. При нахождении предела отношения двух бесконечно ма-

lim

α(x)

= lim

α1 (x)

= lim

α(x)

= lim

α1

(x)

.

β(x)

β(x)

β1 (x)

β1

x→a

x→a

x→a

x→a

(x)

Пример 38. Найти предел

lim

x sin 3x

(arctg2x)2

x→0

Решение. При x → 0 справедливы (см. формулы (20)) следующие ут-

верждения sin 3x ~ 3x, arctg2x ~ 2x. Поэтому получаем

lim

x sin 3x

= lim

x sin 3x

= lim

x (3x)

=

3

.

(arctg2x)2

arctg2x arctg2x

(2x)(2x)

4

x→a

x→a

x→a