4.4.5. Примеры оценки точности результатов равноточных измерений одной величины и функций независимо измеренных величин
Задача №1. По результатам равноточных измерений горизон-тального угла девятью приемами (см. табл. 4.1) найти наиболее точное по вероятности значение угла, средние квадратические погрешности измерения каждого отдельного угла и простой арифметической середины.
Вычисления выполняют в следующей последовательности.
1.
Выбирают приближенное значение
простой арифметической середины как
наименьшее из результатов измерений,
т.е.
В нашем примере это значение равно
2.
Вычисляют уклонения
результатов измерений
от этого приближенного значения
и сумму этих уклонений
3.
В колонке (4) вычисляют квадраты
и их сумму
4.
По формуле (4.26) вычисляют простую
арифметическую середину
-
наиболее точное по вероятности значение
измеряемого угла.
5.
Находят вероятнейшие погрешности
как разности результатов отдельных
измерений и округленного значения
,
т.е.
,
их
сумму
с
контролем
,
где
- погрешность округления среднего
арифметического.
6.
В колонке (6) вычисляют квадраты
вероятнейших погрешностей
и их сумму
с
контролем
.
7. По формуле (4.23) Бесселя вычисляют среднюю квадратическую погрешность результата каждого отдельного измерения
- 46 -
.
8. По формуле (4.44) находят среднюю квадратическую погрешность простой арифметической середины
.
9. Окончательный результат записывают в виде
.
Задача №2. В каждом треугольнике микротриангуляции (рис. 4.1) измерено одинаково точно по три внутренних горизонтальных угла (см. табл. 4.1). Вычислить среднюю квадратическую погрешность результатов измерений каждого отдельного угла, применив формулу Ферреро
,
где
- угловые невязки в треугольниках,n
– число
треугольников.
Рис. 4.1. Схема сети микротриангуляции
- 47 -
Таблица 4.1
О
ценка
точности результатов измерения отдельного
горизонтального угла
|
Номера приемов i |
Результаты измерений βi |
εi |
εi2 |
|
|
Основные формулы, вспомогательные вычисления |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
32o 23´ 44" |
+ 4 |
16 |
-0,6" |
0,36 |
1.
|
|
2 |
40 |
0 |
0 |
-4,6 |
21,16 |
2.
|
|
3 |
43 |
+ 3 |
9 |
-1,6 |
2,56 |
3.
|
|
4 |
45 |
+ 5 |
25 |
+0,4 |
0,16 | |
|
5 |
46 |
+ 6 |
36 |
+1,4 |
1,96 |
4.
|
|
6 |
43 |
+ 3 |
9 |
-1,6 |
2,56 | |
|
7 |
48 |
+ 8 |
64 |
+3,4 |
11,56 |
5.
|
|
8 |
45 |
+ 5 |
25 |
+0,4 |
0,16 | |
|
9 |
32o 23´ 47" |
+ 7 |
49 |
+2,4 |
5,76 |
6. |
|
∑ |
|
+ 42 |
233 |
-0,4 |
46,20 |
7. |
|
β´ β β окр. |
32o 23´ 40" 32o23’44,56" 32o 23´ 44,6"
|
[ε]2=1681 mβ = ± 2,4" ; M = ± 0,80" Окончательный результат : β = 32º 23´ 44,6" ± 0,80"
|
Контроль:
| |||
Обработка результатов угловых измерений в микротриангуляции
|
Названия углов |
Номера треугольников и значения измеренных углов | ||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5
| |
|
|
80°07,7’ |
74°21,6’ |
36°39,2’ |
39°17,4’ |
69°49,6’ |
|
|
50 58,3 |
64 35,5 |
71 49,6 |
96 15,8 |
36 39,2 |
|
|
48 53,1 |
41 01,8 |
71 32,6 |
44 26,1 |
73 32,4 |
|
|
179°59,1’ |
179°58,9’ |
180°01,4’ |
179°59,3’ |
180°01,2’ |
|
|
- 0,9’ |
- 1,1’ |
+ 1,4’ |
- 0,7’ |
+ 1,2’ |
|
|
0,81 |
1,21 |
1,96 |
0,49 |
1,44 |
=
= ± 0,63'
Задача
№3. В теодолитном
ходе равно точно измерено 11 горизонтальных
углов, каждый со средней квадратической
погрешностью
.
Определить среднюю квадратическую и
предельную погрешности суммы этих
углов.
Имеем функцию
.
Частные производные
ее по каждому из аргументов равны
.
Тогда
;
и
.
Задача №4. Горизонтальный угол β (см. рис. 4.2) измерен теодолитом 2Т30 одним полным приемом способом «приемов».
Определить среднюю
квадратическую погрешность среднего
арифметического из значений результатов
измерений угла в полуприемах, если
средняя квадратическая погрешность
отсчетов по лимбу составила
.
- 49 -
Другими погрешностями пренебречь. Значение угла в полуприемах вычисляют по формулам:
,
где
- отсчеты
по горизонтальному кругу при
визировании на точки С и А
при положении вертикального
круга слева (КЛ) и справа (КП).
Вероятнейшее значение гори-
зонтального угла по результа-
там, полученным в каждом
полуприеме, вычисляют по
формуле
Рис. 4.2. Схема наблюдений
На основании формул (4.41) – (4.44) запишем
.
Эту же задачу решим иначе.
Определим среднюю квадратическую погрешность результатов измерений угла, полученных в каждом полуприеме
но
тогда
По формуле (4.44) вычислим среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического значения угла, полученного из результатов в каждом полуприеме
- 50 -
Задача №5. Вычислить среднюю квадратическую и предельную погрешности превышения, определенного на станции при гео-метрическом нивелировании по двум сторонам нивелирных шашечных реек, если: цена деления шкалы рейки μ = 10 мм, средняя квадратическая погрешность отсчета по рейке mo = ± 1 мм.
Другими погрешностями пренебречь. Превышение вычисляют по формулам:
;
;
,
где
- отсчеты по черным сторонам реек,
устанавливаемых в задней и передней
точках нивелирного хода;
- то же, по красным сторонам реек.
Перепишем последнюю формулу в виде
Согласно (4.41) – (4.44) имеем
Задача №6. Вычислить среднюю квадратическую погрешность ре-зультата определения превышения способом тригонометрического нивелирования, если превышение вычислено по формуле
(4.80)
где
,d
= 153,84 м – горизонтальное проложение
линии местности, измеренное с относительной
погрешностью 1:2000,
ν
= + 3º 13´
- угол наклона линии визирования,
измеренный со средней квадратической
погрешностью
,
– вы-сота прибора (теодолита), измеренная
с погрешностью
Вычислим превышение
- 51 -
2. Определим частные
производные функции (4.80) по каждому из
аргументов :
;
;
;
.
3. На основании формулы (4.40) запишем
,
где ρ = 206265" = 3437,75´ = 57,2958º - радиан.
4. С учетом
;
вычислим
5. Окончательно
Задача №7.
В треугольнике ABC
(рис. 4.3) равноточно измерены три угла
и сторона АВ
= с.
Определить длины
сторон a
и b,
средние квадратические и относительные
погрешности этих сторон, если: средние
квадратические погрешности результатов
измерений углов равны
относительная погрешность результата
измерения стороныc
составила
Исходные данные, результаты вычислений и оценка точности приведены в табл. 4.3.
Основные формулы:
;
;
(4.81)
,
(4.82)
Рис.
4.3. К решению треугольника
.(4.83)
Продифференцируем уравнения (4.82) и (4.83)
- 52 -
;
(4.84)
Таблица 4.3
Решение треугольника
|
Номер вершин
|
Результаты измерений углов |
Поправ- ки
|
Уравнен- ные углы |
Синусы углов |
Длины сторон d, м |
md, мм |
|
|
C (γ) B (β) A (α) |
58º 14,7´
58 53,9 |
|
58º 14,5´
58 53,6 |
0,85028 0,88993 0,85621 |
156,82 164,13 157,91
|
78 84 81 |
1:2000 1:1950 1:1940 |
|
∑ 180º 00,7’
|
- 0,7´
|
180º 00,0´ |
| ||||
+
0,7’
(4.85)
На основании формул (4.30) – (4.42) запишем
(4.86)
(4.87)
Подставляя численные значения в уравнения (4.86) и (4.87), получим:
- 53 -
Задача №8. Определить средние квадратические погрешности:
результатов отдельных измерений,
средних арифметических значений из результатов двойных равноточных измерений длин сторон теодолитного хода,
относительные погрешности этих сторон.
Исходные данные и математическая обработка результатов измерений представлены в табл. 4.4.
Таблица 4.4
Оценка точности результатов двойных равноточных измерений
|
Номе- ра сто- рон |
Результаты изме-рений длин сторон хода, м |
l среднее , м
|
d , см |
d2 , см
|
d ' , см |
d ' 2, см |
| |
|
l прямо |
l обратно | |||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
1 |
145,65 |
145,74 |
145,695 |
- 9 |
81 |
-4,5 |
20,25 |
1:4900 |
|
2 |
156,09 |
156,09 |
156,090 |
0 |
0 |
4,5 |
20,25 |
1:5200 |
|
3 |
205,58 |
205,62 |
205,600 |
- 4 |
16 |
0,5 |
0,25 |
1:6900 |
|
4 |
144,67 |
144,63 |
144,650 |
4 |
16 |
8,5 |
72,25 |
1:4800 |
|
5 |
174,56 |
174,69 |
174,625 |
-13 |
169 |
-8,5 |
72,25 |
1:5800 |
|
6 |
125,51 |
125,26 |
125,235 |
- 5 |
25 |
-0,5 |
0,25 |
1:4200 |
|
|
|
|
-27 27 35 |
307 |
0,0 185,50 Контроль :
|
| ||
Обработку результатов измерений выполняют в следующей последовательности.
В колонки 2 и 3 таблицы 5 выписывают из полевых журналов результаты
измерений длин сторон.Вычисляют средние арифметические значения (lср.) из резуль-татов
измерений
каждой стороны в прямом и обратном
направлениях
и записывают в колонке 4.Находят разности
(колонка 5) и их сумму
Проверяют выполнение условия | [ d ] | ≤ 0,25 [ | d | ] ;
[ | d
| ] = 35; 0,25 [ | d
| ] = 8,75;
- 54 -
Условие не выполнено, значит оценку точности результатов изме-рений следует выполнять по формулам (4.75) – (4.77).
5. Вычисляют величину систематической погрешности θ разностей
6. В колонке 7 записывают
разности
свободные от систематической погрешностиθ.
7. Квадраты разностей
,
их сумму
заносят в колонку 8, контролируя значение
суммы по формуле
8. По формулам (4.75) – (4.77) вычисляют средние квадратические погрешности :
разностей результатов двойных равноточных измерений
результатов отдельных измерений
средних арифметических значений из результатов двойных равноточных измерений
В колонке 9 записывают относительные погрешности резуль-татов измерений, вычисляемые по формуле
Задача №9. В теодолитном ходе равноточно измерено семь горизонтальных углов двумя полуприемами каждый и получены результаты этих измерений βR,i и βL,i ,
где βR,i – значения углов, полученных в первом полуприеме – при положении вертикального круга теодолита справа (КП);
βL,i – значения углов, полученных во втором полуприеме – при положении вертикального круга теодолита слева (КЛ);
i = 1, 2, 3,…, n номера углов и их число.
Определить средние квадратические погрешности:
mβ – результатов измерений углов в полуприемах;
- 55 -
mβ,ср. - средних арифметических значений углов в приемах – по разностям результатов двойных равноточных измерений углов в полуприемах. Решение представлено в таблице 4.5.
Вычисления выполняют в последовательности, указанной для предыдущей задачи.
Таблица 4.5
Оценка точности результатов измерения горизонтальных углов
|
Но- мера углов |
Результаты измерений |
|
|
Основные формулы и вспомогательные вычисления | |
|
I полуприем
|
II полуприем
| ||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
179º 56,9’ |
179º 56,2´ |
+ 0,6’ |
0,36 |
Условие:
1,0’ = 0,25· 4,0’
|
|
2 |
179 58,1 |
179 58,9 |
- 0,8 |
0,64 | |
|
3 |
180 01,2 |
180 00,4 |
+ 0,8 |
0,64 | |
|
4 |
180 08,5 |
180 08,0 |
+ 0,5 |
0,25 | |
|
5 |
179 46,9 |
179 47,4 |
- 0,5 |
0,25 | |
|
6 |
202 37,8 |
202 38,0 |
- 0,2 |
0,04 | |
|
7 |
179º 43,4’ |
179º 42,8’ |
+ 0,6’ |
0,36 | |
|
|
|
+ 1,0’ + 1,0’ + 4,0’ |
2,54 | ||
