3.5. Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости

Прямая геодезическая задача. В геодезии и маркшейдерском деле часто приходится передавать координаты с одного пункта на другой. Зная исходные координаты X_A, Y_A одного из концов отрезка линии местности AB, длину горизонтального проложения d и дирек-

- 26 -

ционный угол α, азимут A или румб r этой линии можно определить координаты X_B, Y_B другого конца отрезка ( рис. 3.5).

В такой постановке передача координат называется прямой геодезической задачей. Эта задача представляет значительные трудности при решении её для пунктов, расположенных на эллипсоиде; для пунктов на плоскости она решается следующим образом.

; , (3.17)

где ; . (3.18)

- приращения координат по осям абсцисс и ординат соответственно.

Рис. 3.5. Схемы к решению геодезических задач

Обратная геодезическая задача состоит в том, чтобы по известным координатам X_A, Y_A, X_B, Y_B концов отрезка линии местности AB (см. рис. 3.5) определить длину горизонтального проложения d и направление α этой линии. Если, например, надо проложить по линии АВ просеку через лес или тоннель под проливом, то, рассчитав длину и направление линии, можно уверенно и с необходимой точностью выполнить поставленные задачи. Решение задачи выполняют в такой последовательности.

- 27 -

Вычисляют приращения координатипо формулам

, (3.19)

. (3.20)

Находят численное значение румба r_AB отрезка AB линии местности

(3.21)

По знакам приращений координат (см. табл. 3.1) определяют название четверти, в которой расположен отрезок линии. От румба переходят к значению дирекционного угла α.

Для контроля правильности вычисленного румба можно воспользо-ваться формулой

(3.22)

Полученный по этой формуле румб должен отличаться от вычисленного по формуле (3.21) ровно на 45˚ .

Таблица 3.1

Связь румбов и дирекционных углов

Номер четверти	Название четверти	Знаки приращений координат		Значения дирекционных углов
		∆Y	∆X
I	СВ	+	+
II	ЮВ	+	-
III	ЮЗ	-	-
IV	СЗ	-	+

Длину горизонтального проложения d линии AB можно получить из прямоугольного треугольника (см. рис. 3.5).

(3.23)

Для контроля d вычисляют по формулам

(3.24)

- 28 -

Глава 4. Элементы теории погрешностей геодезических измерений

4.1. Общие сведения об измерениях

Объектом изучения науки Геодезия является планета Земля – ее форма, размеры, внешнее гравитационное поле. Эти характеристики получают из различных измерений, выполняемых на поверхности Земли. Под измерением физической величины X понимают процесс сравнения этой величины с другой, однородной с ней величиной q, принятой в качестве меры - единицы измерения. Например, длину отрезка линии местности сравнивают с единицей линейных измерений - метром; горизонтальный угол, образованный отрезками линий на местности, сравнивают с градусом, градом, радианом.

Измерения различают: прямые; косвенные; равноточные; неравно-точные.

Под прямыми измерениями понимают такие, при которых определяемую величину получают путём непосредственного сравнения (сопоставления) её с единицей измерения или её производной. Например, длина отрезка линии измеряется стальной лентой или горизонтальный угол на местности измеряется теодолитом, а на бумаге транспортиром и т.д.

Косвенными называют измерения, определяемая величина в которых является функцией других непосредственно измеренных

величин. Так, для определения длины окружности или площади круга, необходимо непосредственно измерить радиус окружности.

Равноточными называют измерения, выполненные приборами одного класса точности, специалистами равной квалификации, по одной и той же технологии, в идентичных внешних условиях. При несоблюдении хотя бы одного из перечисленных условий измерения считаются неравноточными.

Результатом измерения l является число, показывающее, во сколько раз определяемая величина больше или меньше величины, с которой её сравнивали, т.е. величины, принятой за единицу измерения. Результаты измерений подразделяют на необходимые и добавочные (или избыточные). Так, если одна и та же величина (длина линии, угол треугольника и т.п.) измерена n раз, то один из результатов измерений является необходимым, а - добавочными. Добавочные измерения имеют весьма важное значение: их сходимость являетсясредством контроля и позволяет судить о качестве результатов измерений; они дают возможность получить наиболее надежное значение искомой величины по сравнению с любым отдельно взятым результатом измерения.

- 29 -