4.5. Неравноточные измерения

4.5.1. Общая арифметическая середина. Веса результатов измерений

Пусть имеется физическая величина (угол, отрезок линии, превышение и т.п.), точное (истинное) значение которой равно X. Эта величина измерена равноточно N раз несколькими сериями и получены результаты , этих измерений.

Здесь i = 1, 2, 3,…, k - номера серий измерений и их число;

j =1, 2, 3,…, n_i – номера измерений в каждой серии и их число.

Примем, что число измерений n_i в каждой серии неодинаково, т.е.

(4.88)

- 56 -

Обозначим среднюю квадратическую погрешность результатов равноточных измерений черезμ. В каждой серии можно определить наиболее точное по вероятности значение результата x_i, как среднее арифметическое из результатов равноточных измерений:

…………………………………….; (4.89)

и их средние квадратические погрешности

(4.90)

Величины x_i - результаты неравноточных измерений, для которых

(4.91)

по условию (4.88). Возникает задача, как по результатам x_i неравноточных измерений найти наиболее точное по вероятности значение измеряемой величины – X₀.

Так как - результаты равноточных измерений, то на основании (4.7), вероятнейшее значениеX₀ из этих результатов равно

(4.92)

В свою очередь:

…………………………………………; (4.93)

- 57 -

С учетом (4.93) равенство (4.92) перепишем в виде

(4.94)

Обозначив (4.95)

получим

(4.96)

Из выражения (4.90) видим, что

(4.97)

Подставим значения для n_i в равенства (4.94), (4.97)

(4.98)

Величины

(4.99)

называют весами результатов x_i неравноточных измерений.

С учетом (4.99) выражение (4.98) примет вид

(4.100)

Величину X₀, вычисляемую по формуле (4.100), называют общей арифметической серединой, средним весовым, или средневзвешенным значением определяемой величины из результатов неравноточных измерений.

Величина общей арифметической середины не изменится, если все веса изменить в одинаковое число раз. Этим свойством следует пользоваться для упрощения вычислений. На практике общую арифметическую середину чаще всего вычисляют по формуле

(4.101)

- 58 -

которая получена из следующих рассуждений.

В ряду результатов x_i неравноточных измерений выберем наименьший по абсолютной величине и примем его в качестве приближенного значения искомой величины, т.е.

(4.102)

Образуем разности

(4.103)

Умножив обе части этого равенства на соответствующие веса p_i , получим

(4.104)

Найдем сумму уравнений (4.102) и разделим ее на [ p_i ]

(4.105)

Но

тогда т.е. получена формула (4.99).