З. Электростатика

· Ёмкость плоского конденсатора:

C = e0 e S / d ,

где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между ними.

· Ёмкость системы конденсаторов:

а) при параллельном соединении конденсаторов –

C = å Ci ;

б) при последовательном соединении конденсаторов –

1/C = å (1/ Ci) .

· Энергия заряженного конденсатора:

W = qU/2 = CU2/2 = q2/ (2C).

З -1

Два шарика одинакового радиуса и массы подвешены на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда

q0=4×10-7Кл они оттолкнулись друг от друга так, что нити разошлись на угол 60°. Найти массу шариков, если расстояние от точки подвеса до центра шарика L = 20см.

Gравновесия. На каждый шарик действуют силы: T– натяжения

нити, G–тяжести и Fk– кулоновская (см. рис.)

Условие равновесия: T+Fк+G = 0.

Выберем оси координат и спроецируем силы на оси X и Y:

З- 2

Ввершинах квадрата со стороной a=10см помещены точечные

заряды по (1/3)×10-7Кл каждый. Найдите величину и направление напряженности электрического поля в центре квадрата, если знаки зарядов следующие:

a) ++++, б) +−+− , в) ++−− , а также потенциал в центре квадрата в указанных случаях.

Решение:

В нашем случае поле создается несколькими зарядами, поэтому напряженность электрического поля определяется принципу

суперпозиции: E = S Ei,

где Ei - напряженность поля каждого заряда в отдельности. Покажем на

φ = Σφi.

Потенциал поля точечного заряда определяется по формуле:

где ri равно половине диагонали квадрата.

j Σ = j 1 + j 2 - j 3 - j 4 = 0

Ответ: а) E =0; j =1,7×104B; б) E =0; j =0; в) E =8,5×104В/м; j =0.

равномерно распределенный с объемной плотностью ρ = 10нКл/м2. Определить напряженность электрического поля в точках: 1) на расстоянии r1 = 3 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии r2 = 10 см от центра сферы. Построить график зависимости

Е(r). Диэлектрическая проницаемость среды ε =3.

Решение.

Из центра шара проводим силовые линии. По расположению силовых линий поле заряженного шара можно считать симметричным. Поэтому для расчета поля можно применить теорему ОстроградскогоГаусса для электрического поля в диэлектрике:

для точек с r = R вне шара – по формуле:

E'2 = ρ R ,

3e 0

так как вне шара ε = 1.

Подставляя числовые данные, получим:

Ответ: Е1= 3,77 В/м, Е2= 6,28 В/м, Е2’= 18,8 В/м, E3= 4,71 В/м. График зависимости Е(r) представлен на рисунке.

З - 4

Две длинные тонкостенные коаксиальные трубки радиусом R1=2 см и R2=4 см несут заряды, равномерно распределенные по длине с

линейными плотностями τ1=1нКл/м² и τ2=–0,5нКл/м². Пространство

между трубками заполнено эбонитом (ε =3). Определить напряженность электрического поля в точках, находящихся на расстояниях r1=1см, r2=3см, r3=5см от оси трубок. Построить график зависимости Е от r.

Решение:

Проведем силовые линии электрических полей заряженных трубок. На рисунке справа показано поперечное сечение трубок – внутренней радиуса R1 и внешней – радиуса R2, а также схема

OO O

∙1 ∙2 ∙3

расположения силовых линий полей, созданных распределенными по поверхности трубок зарядами.

Символами: Е+ – обозначено поле положительно заряженной внутренней трубки в заполненном эбонитом пространстве между трубками; Е’+ – поле этой же трубки во внешнем пространстве; Е– – поле заряженной отрицательно внешней трубки. По расположению силовых линий – поля трубок можно считать симметричными и для расчета напряженности поля – применить теорему Остроградского-Гаусса:

– поток вектора напряженности E электрического поля через замкнутую поверхность S;

q – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри этой поверхности;

1/eo = 4p×9×109 м/ф – const в системе единиц СИ.

Через точки O1, O2, O3 проведем вспомогательные поверхности таким образом, чтобы они были симметрично расположены относительно заряженных тел и силовые линии были перпендикулярны этим поверхностям. Таким требованиям удовлетворяют цилиндрические поверхности, коаксиальные данным трубкам. Тогда поток вектора Е через замкнутую поверхность цилиндра можно представить в виде суммы потоков вектора Е через боковую поверхность цилиндра и его основания:

ò E × dS = ò E × dS + 2 ò E × dS = E×2pr×ℓ ,

S Sбок Sосн

где потоки через основания цилиндра ò E × dS =0, так как векторы Е и

Sосн

dSосн взаимно перпендикулярны ( Е^dSосн);

2pr×ℓ = Sбок – площадь боковой поверхности цилиндра.

Следовательно, теорема Остроградского-Гаусса запишется таким образом:

Е×2pr×ℓ = t×ℓ/eeo,

где t×l = q – заряд внутри замкнутой поверхности цилиндра. 1) Для точки О1: r1 < R1,

E1 2p r1 = 0 ,

так как поверхность не охватывает заряда. Отсюда следует, что E1=0.

Вспомогательная поверхность охватывает заряд, находящийся на внутренней трубке. Отсюда следует, что

3) Для точки О3: r3 > R2. Вспомогательная поверхность охватывает заряды на обеих трубках, e = 1,

Для построения графика нужно рассчитать напряженность поля в точках, находящихся на поверхности трубок.

По формулам:

В/м.

З - 5

Электрическое поле создано двумя бесконечными плоскостями,

несущими одинаковый равномерно распределенный по площади заряд (σ =1нКл/м²). Определить напряженность поля: 1) между плоскостями 2) вне плоскостей. Построить график изменения напряженности поля вдоль линии, перпендикулярной пластинам.

Решение:

Напряженность поля, создаваемого двумя плоскостями, можно определить по принципу суперпозиции: Е = Е1 + Е2, где Е1 –

плоскости, и силовые линии были бы перпендикулярны к ней. В данном случае такой поверхностью является цилиндр, образующие которого перпендикулярны плоскости, а основания ей параллельны. Теорема Гаусса в данном случае имеет вид