Л- 1
Вплоскости квадратной рамки с сопротивлением R=7Ом и стороной ℓ=20 см параллельно одной из сторон лежит прямой бесконечно длинный проводник на расстоянии r0 = 20 см от ближайшей
стороны. Сила тока в проводнике изменяется по закону I = a×t3, где a =2А/с. Определить силу тока в рамке в момент времени t = 10 с.
Решение
Ток в рамке возникает в результате появления в ней ЭДС индукции за счет изменения магнитного потока сквозь плоскость рамки. Магнитное поле в плоскости рамки создается током в прямом бесконечно длинном проводнике, расположенном
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллельно одной из сторон рамки. |
||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Индукция магнитного поля В, |
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
созданного |
|
|
бесконечным |
прямым |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ℓ |
|
|
|
проводником с током I(t) на расстоянии x |
||||||||||||||||
I(t) |
|
|
|
|
|
Ä |
|
|
|
|
от него, равна |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ 0I(t) |
|
|
|
|||
|
r0 |
|
ℓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем поток вектора магнитной |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
индукции В сквозь плоскость рамки: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 + m 0I |
|
|
|
|
|
m |
0a t3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
F = ò |
|
B |
× dS |
= |
|
ò |
|
|
× × |
dx = |
|
2p |
|
ln(1+ |
|
|
) . |
||||||||||
|
|
2p x |
|
|
|
r |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как магнитный поток с течением времени изменяется, то в |
|||||||||||||||||||||||||||
рамке возникает ЭДС индукции и появляется ток |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
I = |
e |
i |
= |
1 |
× |
dF |
|
= |
3 |
m |
0 |
a t2 |
ln(1+ |
|
|
) = |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
R |
dt |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
2p R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
= |
|
3× 4p × 10− 7 × 2 × 102 × 0,2 |
ln 2 @ 0,24A. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p × 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Л - 2 |
|
|
|
|
|
Перемычка АC длиной L и |
|
|
|
|
|
||||
сопротивлением |
R |
движется |
по |
E |
B |
|
A |
|
|
короткозамкнутым |
проводящим |
o |
|
n |
R |
o |
|||
рельсам со скоростью V в |
|
|
|
||||||
|
|
ε |
|
||||||
плоскости, |
|
перпендикулярной |
|
|
|
V |
L |
||
силовым |
линиям |
однородного |
|
|
|
|
|
||
магнитного |
В. |
поля, |
индукция |
oD |
|
|
|
o |
|
которого |
Определить |
ЭДС |
|
C |
V×D |
||||
электромагнитной индукции и силу тока, возникающих в контуре.
Решение:
По закону Фарадея –Ленца ЭДС электромагнитной индукции определяется формулой:
dФ e i = - dt .
За время dt площадь, ограниченная контуром ACDE, увеличивается на dS = LVdt,
что приводит к изменению потока вектора магнитной индукции В, пронизывающего площадь S на величину
dФ = В×dS = B×dS×cos a,
где α - угол между B и вектором нормали n к площади контура. В нашем случае α = 0 и cos α = 1.
Таким образом: e i = - |
dФ |
= |
- |
BLVdt |
= - BVL . |
|
dt |
|
|
dt |
|
Знак минус показывает, что магнитное поле индукционного тока противодействует изменению магнитного потока. В нашем случае ток пойдет по перемычке от А к С. Ток по закону Ома:
I = Re = BLVR .
Замечание: В случае разомкнутого контура электродвижущая сила равна разности потенциалов на концах движущегося проводника.
Л- 3
Вмагнитном поле, индукция которого В, вращается стержень длинной L. Ось вращения проходит через конец стержня и параллельна силовым линиям магнитного поля. Найти разность потенциалов, возникающую на концах стержня, если он вращается с частотой n.
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
||
|
|
|
При повороте за время dt стержень описывает |
||||||
|
B |
|
сектор площадью dS=L2dα/2, что приводит к |
||||||
|
|
o ϕ2 |
изменению магнитного потока на |
|
|||||
|
L |
|
dФ=BdS=BL2dα/2. |
|
|||||
o |
Δα |
|
Изменение магнитного потока вызывает ЭДС |
||||||
|
индукции |
|
|
|
|
||||
ϕ1 |
L |
|
|
|
|
|
|||
|
o |
ε i= − dΦ = − 1 BL2 dα = − 1 BL2ω , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
||
где ω = 2πn - угловая скорость. При разомкнутой цепи
ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = ε i .
Таким образом, разность потенциалов на концах проводника будет
равна:
ϕ = ε i = π BL2n .
Л- 4
Воднородном магнитном поле с индукцией В равномерно
вращается рамка с угловой скоростью ω. Площадь рамки S. Ось вращения перпендикулярна к силовым линиям магнитного поля. Определить ЭДС индукции в рамке.
Решение:
Поток Ф магнитной индукции В сквозь плоскость рамки S по определению равен:
B |
|
Ф = BS = BS cos α, |
|
где α – угол между вектором магнитной индукции |
|
|
|
|
’ |
n |
В и нормалью к плоскости рамки. |
αO |
При вращении рамки поворачивается и вектор n |
|
|
|
нормали к ее поверхности. Угол поворота связан с |
O |
|
|
угловой скоростью α = ωt (при равномерном вращении ). Тогда Ф = BS cos ωt .
ЭДС электромагнитной индукции равна:
εi = – dФ/dt = BSω sin ωt. Максимальная ЭДС εmax = BSω .
Замечание: если в рамке N витков, то εi = NBSω sin ωt.
Учесть также связь угловой скорости и частоты вращения ω = 2πn.
Л- 5
Проволочный контур сопротивлением R помещен в однородное магнитное поле. Определить заряд, прошедший по контуру при быстром изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром от Ф1 до Ф2. Контур содержит N витков провода.
Решение:
При изменении магнитного потока в каждом витке возникает электродвижущая сила индукции:
εi = – dФ/dt, а в N витках εi = – N(dФ/dt).
При этом по контуру течет ток:
I = εi/R.
Но с другой стороны:
I = dq/dt,
где dq – заряд, прошедший за малое время dt по контуру. Таким образом: dq/dt = –(N/R)(dФ/dt) или
dq = –N dФ/R.
После интегрирования получим:
q = N (Ф1 – Ф2)/R.
Примечание: поскольку Ф = BS = BS cosα, то изменение магнитного потока может быть вызвано изменением любой из величин В (индукции),
S (площади) или α – угла между направлением векторов B и S.
Л - 6
Соленоид представляет собой катушку с плотной намоткой проводом. Площадь поперечного сечения катушки S, её длина ℓ, число витков – N. Найти индуктивность соленоида.
Решение:
Рассмотрим соленоид, длина которого значительно больше его поперечных размеров, так, что его можно в первом приближении считать бесконечно длинным.
При протекании по нему тока I внутри соленоида возбуждается магнитное поле, индукция которого равна B = mm0In, где m - магнитная проницаемость материала сердечника, n – число витков провода на единицу длины. Магнитный поток через каждый виток равен Ф = BS, а полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом:
Y = NФ = nℓBS = mm0n2ℓSI,
где ℓ – длина соленоида, а nℓ=N – полное число витков. Таким образом,
магнитный поток Y пропорционален силе тока Y = LI. Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью соленоида. Итак:
LI = mm0n2ℓSI,
откуда L = mm0n2ℓS = mm0SN2/ℓ,
где S – площадь сечения соленоида; в случае неферромагнитного сердечника m=1; m0 = 4×p×10-7 Гн/м – магнитная постоянная в системе СИ.
Л - 7
Катушка (соленоид) с площадью поперечного сечения S и длиной ℓ содержит N витков провода. Определить ЭДС самоиндукции, возникающую при изменении тока в катушке со скоростью dI/dt.
Решение:
Ток в катушке создает магнитное поле с индукцией В и каждый виток пронизывается магнитным потоком Ф=BS. При изменении магнитного потока возникает ЭДС самоиндукции равная, по закону Фарадея – Ленца,
eси = Nei = N(–dF/dt) = –dY/dt,
где Y = NФ = LI – поток магнитной индукции, сцепленный со всеми витками соленоида (потокосцепление); L – индуктивность соленоида.
Следовательно:
eси = – dY/dt = – L×dI/dt,
где dI/dt – скорость изменения тока в катушке.
Л- 8
Вкатушке индуктивностью 0,2 Гн ток возрастал по закону I=0,1×t2. Найти ЭДС самоиндукции и энергию магнитного поля в катушке в момент времени t = 3 с.
Решение:
ЭДС самоиндукции находится по закону: eси= – L×dI/dt,
где dI/dt – скорость изменения тока. В данном случае
dI/dt = 0,2×t. Тогда eси= – L×0,2×t = – 0,2×0,2×3 = – 0,12 B.
Энергия магнитного поля, созданного в катушке индуктивности током I, определяется формулой:
W = LI2/2.
Подставляя численные значения величин, получим:
W = |
L × (0,1× t2 )2 |
= |
0,2 × 0,01× 34 |
= 81× 10− 3 Дж . |
|
2 |
|
2 |
|
Л - 9
Цепь состоит из источника постоянной ЭДС, сопротивления R и катушки с индуктивностью L. Установить закон изменения тока в момент включения и выключения рубильника.
Решение:
В момент включения и выключения рубильника изменяется магнитное поле в катушке, что приводит к появлению ЭДС самоиндукции и индукционного тока. Согласно правилу Ленца направление индукционного тока такое, что созданное им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока. В момент выключения рубильника магнитное поле в катушке уменьшается, поэтому возникает индукционный ток того же направления, что и ток источника, чтобы, согласно правилу Ленца, препятствовать уменьшению магнитного поля. При выключении источника тока в цепи действует ЭДС самоиндукции:
esi = – dY/dt = – L×dI/dt.
По закону Ома:
IR = – L×dI/dt.
Разделим переменные и проинтегрируем это дифференциальное уравнение:
0 |
dI |
t |
R |
|
I |
|
R |
|
ò |
I |
= ò (- |
L )dt ; |
ln |
|
|
= - |
L t ; откуда |
I |
0 |
|||||||
I0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = I0e-(R/L)t |
(1). |
|
|||
При замыкании цепи индукционный ток идет навстречу току от источника, поэтому:
I = I0 – I0e-(R/L)t (2).
Графическая зависимость токов размыкания (1) и замыкания (2) от времени приведена на графиках:
Л – 10 |
|
I |
I |
I0 |
I0 |
t |
t |
(1) |
(2) |
Соленоид с индуктивностью L=0.1Гн и сопротивлением R=2×10-2Ом |
|
замыкается на источник ЭДС e0 =2В, |
внутреннее сопротивление |
которого ничтожно мало. Какой заряд пройдет через соленоид за первые 5 секунд после замыкания цепи.
Решение
После замыкания цепи в соленоиде возникает ЭДС самоиндукции eси, в результате чего ток в цепи возрастает постепенно. По второму закону Кирхгофа:
IR = e 0 |
+ e си = e 0 |
- L dI |
, откуда |
I = |
ε |
(1- exp(- |
R |
t)) .. |
R |
|
|||||||
|
|
dt |
|
|
|
L |
||
Заряд, прошедший по проводнику за время dt равен dQ = I×dt = Rε (1- exp(- RL t)) × dt .
Проинтегрировав это выражение по времени, получим:
Q = |
òτ |
e 0 |
|
(1- exp(- |
R t))dt = |
e 0 |
(t + |
L |
exp(- |
R t)) |
|
0τ |
= |
||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
L |
|
R |
R |
L |
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
2 |
|
|
(5 + |
0,1 |
|
(exp(- |
2 × 10− 2 |
5) - 1)) = 184Кл |
|
||||||
2 |
× 10− |
2 |
2 × 10− 2 |
0,1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||